内容-声明-勘误
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内容
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Analytic_Geometry.md
Calculus.md
Contents_Statement_Errata.md
Discrete_Mathematics.md
Fundamental_Relation.md
Important_Formula.md
Improper_Integral.md
Infinite_Series.md
Linear_Algebra.md
Numerical_Analysis.md
Special_Function.md
The_Natural_Base.md
Trigonometry.md
声明
本书中内容未必正确，
你觉得正确那就正确，
你觉得错误那就错误。
欢迎研习并指正错误，
如有疑问可以发邮件，
拷贝副本前先联系我。
本书如果能付梓出版发行，
不打算出版到新加坡地区。
电子邮箱：brilliantstarrysky9395@gmail.com 贵姓大名：璀璨星辰
勘误
本书中内容未必正确，
病毒内容会放在此处，
需要大量思考与讨论。
一致连续性
若函数$f(x)$在区间$X$上点$x_0$处导数值有确界，则函数$f(x)$在点$x_0$处连续，反之不对。$P ⇒ Q$
若函数$f(x)$在区间$X$上点$x_0$处间断，则函数$f(x)$在该点处导数值无确界，反之不对。$¬Q ⇒ ¬P$
| $\left[ Ⅎx_0∈X;∃\mathrm{Sup}_{x_0}; \left | \dfrac{\mathrm{d} f(x_0)}{\mathrm{d} x} \right | ≤ \mathrm{Sup}{x_0} \right] ⇒ \left[ \lim\limits{x⇝x_0} f(x) \mathop{⇝}\limits_{x_0∈X} f(x_0) \right]$ |
| $⇓$ | $Ⅎx_0∈X;∃ε>0;∀δ>0;∃x∈X; | x - x_0 | ≤ δ ∧ | f(x) - f(x_0) | > ε$ | $⇔$ | $\lim\limits_{x⇝x_0} f(x) \not⇝ f(x_0)$ | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $⇓$ | $Ⅎx_0∈X;∃ε>0;∀δ>0;∃x∈X;Ⅎ\mathrm{Sup}_{x_0}; \left | \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \right | \mathop{>}\limits_{δ⇝0^{+} } \dfrac{ε}{δ} ≥ \mathrm{Sup}_{x_0} = \dfrac{ε}{\sup δ}$ | ||||||
| $⇓$ | $Ⅎx_0∈X;∀\mathrm{Sup}_{x_0}; \left | \dfrac{\mathrm{d} f(x_0)}{\mathrm{d} x_0} \right | > \mathrm{Sup}_{x_0}$ | $⇔$ | $\left | \dfrac{\mathrm{d} f(x_0)}{\mathrm{d} x_0} \right | = \lim\limits_{x⇝x_0} \left | \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \right | ⇝ ∞^{+}$ |
| $⇓$ | $\left[ \lim\limits_{x⇝x_0} f(x) \not⇝ f(x_0) \right] ⇒ \left[ Ⅎx_0∈X;∀\mathrm{Sup}_{x_0}; \left | \dfrac{\mathrm{d} f(x_0)}{\mathrm{d} x_0} \right | > \mathrm{Sup}_{x_0} \right]$ | ||||||
| $⇓$ | $\left[ Ⅎx_0∈X;∃\mathrm{Sup}_{x_0}; \left | \dfrac{\mathrm{d} f(x_0)}{\mathrm{d} x_0} \right | ≤ \mathrm{Sup}{x_0} \right] ⇒ \left[ \lim\limits{x⇝x_0} f(x) ⇝ f(x_0) \right]$ |
若函数$f (x)$在区间$X$上满足切割线极限过程，则函数$f (x)$在区间$X$上一致连续，反之亦然。原点是固定点，闭区间上的连续函数必一致连续。
本定理根据经验得到，原点与无穷大点均是特殊点。当$x$趋近于无穷大时，$Δx_t$趋近于零，两个过程通过取特定值可关联成同一个极限过程。
对于无穷大点处，可取$\lim\limits_{Δx_t ⇝ 0 \ x⇝∞} x^{α} · Δx_t \mathop{⇝}\limits^{α>0} 1$，$\lim\limits_{Δx_t ⇝ 0 \ x⇝∞} x^{α} · Δx_t \mathop{⇝}\limits^{α≤0} 0$。对于原点处，可取$\lim\limits_{Δx_t⇝0 \ x⇝0} \dfrac{Δx_t}{x^{α} } \mathop{⇝}\limits^{α>1} 1$，$\lim\limits_{Δx_t⇝0 \ x⇝0} \dfrac{Δx_t}{x^{α} } \mathop{⇝}\limits^{α≤1} 0$。
$\left[ 0 ↭ \lim\limits_{x↭x_t} \dfrac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x} · Δx \right] ⇔ \left[ \lim\limits_{x↭x_t} f(x) ↭ f(x_t) \right]$
| $0 ↭ \lim\limits_{x↭x_t} [ f(x) - f(x_t) ] = \lim\limits_{x↭x_t} \dfrac{f(x) - f(x_t)}{x - x_t} · (x - x_t) = \lim\limits_{x↭x_t} \dfrac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x} · Δx$ | ||
|---|---|---|
| $\lim\limits_{x↭x_t⇝∞} \dfrac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x} · Δx = \lim\limits_{Δx⇝0 \ x⇝∞} \dfrac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x} · Δx$ | $\lim\limits_{Δx_t ⇝ 0 \ x⇝∞} x^{α} · Δx_t \mathop{⇝}\limits^{α>0} 1$ | $\lim\limits_{Δx_t ⇝ 0 \ x⇝∞} x^{α} · Δx_t \mathop{⇝}\limits^{α≤0} 0$ |
| $\lim\limits_{x↭x_t⇝0} \dfrac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x} · Δx = \lim\limits_{Δx⇝0 \ x⇝0} \dfrac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x} · Δx$ | $\lim\limits_{Δx_t⇝0 \ x⇝0} \dfrac{Δx_t}{x^{α} } \mathop{⇝}\limits^{α>1} 1$ | $\lim\limits_{Δx_t⇝0 \ x⇝0} \dfrac{Δx_t}{x^{α} } \mathop{⇝}\limits^{α≤1} 0$ |
典例：函数$\sin x$在无穷大点处一致连续，函数$\sin x^2$在无穷大点处非一致连续。
典例：函数$\ln x$在原点处一致连续，函数$\dfrac{1}{x}$在原点处非一致连续，函数$\sin \dfrac{1}{x}$在原点处非一致连续，函数$x · \sin \dfrac{1}{x}$在原点处一致连续，函数$x^2 · \sin \dfrac{1}{x}$在原点处一致连续。
| $\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \sin x = \cos x$ | $\lim\limits_{Δx⇝0 \ x⇝∞} \cos x · Δx ⇝ 0$ | $\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \ln x = \dfrac{1}{x}$ | $\lim\limits_{Δx⇝0 \x⇝0} \dfrac{1}{x} · Δx ⇝ 0$ | |
|---|---|---|---|---|
| $\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \sin x^2 = 2 · x · \cos x^2$ | $\lim\limits_{Δx⇝0 \ x⇝∞} 2 · x · \cos x^2 · Δx \not⇝ 0$ | $\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \dfrac{1}{x} = -\dfrac{1}{x^2}$ | $\lim\limits_{Δx⇝0 \ x⇝0} -\dfrac{1}{x^2} · Δx \not⇝ 0$ | |
| $\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \sin \dfrac{1}{x} = - \dfrac{1}{x^2} · \cos \dfrac{1}{x}$ | $\lim\limits_{Δx⇝0 \ x⇝0} -\dfrac{1}{x^2} · \cos \dfrac{1}{x} · Δx \not⇝ 0$ | |||
| $\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left[ x · \sin \dfrac{1}{x} \right] = \sin \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x} · \cos \dfrac{1}{x}$ | $\lim\limits_{Δx⇝0 \ x⇝0} \left[ \sin \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x} · \cos \dfrac{1}{x} \right] · Δx ⇝ 0$ | |||
| $\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left[ x^2 · \sin \dfrac{1}{x} \right] = 2 · x · \sin \dfrac{1}{x} - \cos \dfrac{1}{x}$ | $\lim\limits_{Δx⇝0 \ x⇝0} \left[ 2 · x · \sin \dfrac{1}{x} - \cos \dfrac{1}{x} \right] · Δx ⇝ 0$ |
零测集
离散集与零测集彼此等价，离散集强调集合中元素的数量，零测集强调集合中元素的度量。
任意零测集$\mathcal{O}$，必存在可数个区间$X_{i}$覆盖之，使得其可测度大小为零。
$∀\mathcal{O};∀ε_1>0;∃\lbrace X_{i} \rbrace; \left[ \mathcal{O} ⊆ \bigcup X_i \right] ∧ \left[ \mathrm{ord} \mathcal{O} ≤ \sum\limits_{i=0}^{∞^{+} } \mathrm{ord} X_i < \sum\limits_{i=0}^{∞^{+} } \dfrac{ε_0}{2^{i} } = 2 · ε_0 = ε_1 \right]$
可数个零测集$\mathcal{O}i$的合集$\lbrace \mathcal{O}{i} \rbrace$为零测集。
$∀\lbrace\mathcal{O}{i}\rbrace;∀ε_2>0;∃\lbrace X{i,j} \rbrace; \left[ \lbrace \mathcal{O}{i} \rbrace ⊆ \bigcup \bigcup X{i,j} \right] ∧ \left[ \mathrm{ord} \lbrace \mathcal{O}{i} \rbrace = \sum\mathrm{ord} \mathcal{O}_i = \sum \sum \mathrm{ord} X{i,j} ≤ \sum\limits_{i=0}^{∞⁺} \dfrac{1}{2^{i} } · \sum\limits_{j=0}^{∞⁺} \dfrac{ε_0}{2^{j} } ≤ \sum\limits_{i=0}^{∞⁺} \dfrac{ε_1}{2^i} = 2 · ε_1 = ε_2 \right]$