重要公式
更新: 作者: 资源:
注意
本书中避免使用阶乘算符，
特别是双叹号的阶乘算符，
两者均可替代为连乘算符,
连乘算符的下标从一开始。
$(2·n-1)!! = \prod\limits_{i=1}^{n} (2·i-1)$
$(2·n)!! = \prod\limits_{i=1}^{n} (2·i)$
$(2·n+1)!! = \prod\limits_{i=1}^{n} (2·i+1)$
基本数学常数
| $π$ | $3.1415926535,8979323846,…$ | $\lim\limits_{m⇝∞^{+} } \dfrac{1}{m} · \left[ \prod\limits_{i=1}^{m} (2·i) \right]^{+2} · \left[ \prod\limits_{i=1}^{m} (2·i-1) \right]^{-2}$ |
|---|---|---|
| $ә$ | $2.7182818284,5904553488,…$ | |
特殊数学常数
| $Γ \left( \dfrac{1}{2} \right)$ | $π^{\frac{1}{2} }$ |
|---|---|
重要极限
| $\dfrac{0}{0}$ | $\dfrac{∞}{∞}$ | $1^0$ | $0^{\frac{1}{0} }$ | $∞^{\frac{1}{∞} }$ | $1^{∞}$ | $1^{\frac{1}{∞} }$ | $0 · ∞$ | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\lim\limits_{x⇝0} \dfrac{\sin x}{x} \mathop{⇝}\limits_{x∈\left(-\frac{π}{2},+\frac{π}{2}\right)}^{\sin | x | ≤ | x | ≤ \tan | x | } 1$ | $\lim\limits_{n⇝∞⁺} \dfrac{n^α}{β^n} \mathop{⇝}\limits_{1<β}^{0<α} 0$ | $\lim\limits_{x⇝0} \mathop{β^x}\limits_{0<β} = 1$ | $\lim\limits_{x⇝0^+} x^{\frac{1}{x} } ⇝ 0$ | $\lim\limits_{n⇝∞⁺} \sqrt[n]{n} \mathop{⇝}\limits^{\sqrt[n]{n} = 1 + α_n} 1$ | $\lim\limits_{x⇝±∞} \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)^{x} ⇝ ә$ | $\lim\limits_{n⇝∞⁺} \mathop{\sqrt[n]{β} }\limits_{0<β} \mathop{⇝}\limits^{\sqrt[n]{β} = 1 + α_n} 1$ | $\lim\limits_{x⇝0^+} x^α · \ln^{γ} x \mathop{⇝}\limits_{0<γ}^{0<α} 0$ |
| $\lim\limits_{x⇝0} \dfrac{\log_{β} (1 + x)}{x} ⇝ \dfrac{1}{\ln β}$ | $\lim\limits_{n⇝∞⁺} \dfrac{β^n}{n!} \mathop{⇝}\limits^{1<β} 0$ | $\lim\limits_{n⇝∞⁺} \sqrt[n]{n!} \mathop{⇝}\limits^{1^n} ∞⁺$ | $\lim\limits_{x⇝∞⁺} \mathop{β^{x} }\limits_{0<β} = \mathop{0}\limits_{0<β<1};\mathop{1}\limits_{β=1};\mathop{∞⁺}\limits_{1<β}$ | ||||||||||
| $\lim\limits_{x⇝0} \dfrac{β^x - 1}{x} ⇝ \ln β$ | $\lim\limits_{x⇝∞⁺} \dfrac{\ln^{γ} x}{x^α} \mathop{⇝}\limits_{0<α}^{0<γ} 0$ | $\lim\limits_{x⇝∞⁺} x^{\frac{1}{x} } ⇝ 1$ | |||||||||||
| $\lim\limits_{x⇝0} \dfrac{(1 + x)^{α} - 1}{x} ⇝ α$ | $\lim\limits_{x⇝∞⁺} \dfrac{x^α}{β^x} \mathop{⇝}\limits_{1<β}^{0<α} 0$ | ||||||||||||
| $\lim\limits_{x⇝∞⁺} \dfrac{β^x}{x^x} \mathop{⇝}\limits^{1<β} 0$ |
等值极限
| $\sin x ≈ x + \mathrm{o}[x]_{x=0}$ | |
|---|---|
| $\tan x ≈ x + \mathrm{o}[x]_{x=0}$ | |
| $1 - \cos x ≈ \dfrac{1}{2} · x^2 + \mathrm{o}[x^2]_{x=0}$ | |
| ${‘}\sin x ≈ x + \mathrm{o}[x]_{x=0}$ | |
| $\ln(1 + x) ≈ x + \mathrm{o}[x]_{x=0}$ | |
| $(1 + x)^{α} ≈ 1 + α · x + \mathrm{o}[x]_{x=0}$ |
阶乘数列极限
$\lim\limits_{n⇝∞^{+} } \dfrac{n}{\sqrt[n]{n!} } ⇝ ә$
| $\left( \dfrac{n + 1}{ә} \right)^{n} < n! < (n + 1) · \left( \dfrac{n + 1}{ә} \right)^{n}$ |
|---|
| $\dfrac{n + 1}{n} · \dfrac{n}{\sqrt[n]{n!} } = \dfrac{n + 1}{\sqrt[n]{n!} } < ә < \sqrt[n]{n + 1} · \dfrac{n + 1}{\sqrt[n]{n!} } = \sqrt[n]{n + 1} · \dfrac{n + 1}{n} · \dfrac{n}{\sqrt[n]{n!} }$ |
| $\lim\limits_{n⇝∞^{+} } \dfrac{n}{\sqrt[n]{n!} } = \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \dfrac{n + 1}{n} · \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \dfrac{n}{\sqrt[n]{n!} } ⇝ ә ⇜ \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \sqrt[n]{n + 1} · \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \dfrac{n + 1}{n} · \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \dfrac{n}{\sqrt[n]{n!} } = \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \dfrac{n}{\sqrt[n]{n!} }$ |
等比数列极限
$\lim\limits_{n⇝∞⁺} β^n = \mathop{∞}\limits_{β<-1};\mathop{※}\limits_{β=-1};\mathop{0}\limits_{-1<β<+1};\mathop{1}\limits_{β=+1};\mathop{∞⁺}\limits_{+1<β}$
$\lim\limits_{n⇝∞⁺} \sum\limits_{i=0}^{n} β^n = \lim\limits_{n⇝∞⁺} \dfrac{β^n - 1}{β - 1} = \mathop{∞}\limits_{β<-1};\mathop{※}\limits_{β=-1};\mathop{\dfrac{1}{1 - β} }\limits_{-1<β<+1};\mathop{∞⁺}\limits_{β=+1};\mathop{∞⁺}\limits_{+1<β}$
$\lim\limits_{x⇝∞^{±} } \dfrac{\sum\limits_{i=0}^{n} s_i · x^{i} }{\sum\limits_{j=0}^{m} t_j · x^{j} } = \lim\limits_{x⇝∞^{±} } \dfrac{s_n · x^n + s_{n-1} · x^{n-1} + ··· + s_1 · x^{1} + s_0 · x^{0} }{t_m · x^{m} + t_{m-1} · x^{m-1} + ··· + t_1 · x^{1} + t_0 · x^{0} } = \mathop{0}\limits_{n<m};\mathop{\dfrac{s_n}{t_n} }\limits_{n=m};\mathop{\dfrac{s_n}{t_m}·∞^{±} }\limits_{n>m}$
均值数列极限
$\left[ \lim\limits_{n⇝∞⁺} s_n ⇝ s,∞^{±} \right] ⇔ \left[ \lim\limits_{n⇝∞⁺} \dfrac{1}{n + 1} · \sum\limits_{i=0}^n s_i ⇝ s,∞^{±} \right]$
$\left[ \lim\limits_{n⇝∞⁺} s_n \mathop{⇝}\limits_{0<s_n} s,∞^{+} \right] ⇒ \left[ \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \left[ \prod\limits_{i=0}^{n} s_i \right]^{\frac{1}{n+1} } ⇝ s,∞^{+} \right]$
$\lim\limits_{n⇝∞^{+} } \left[ \sum\limits_{i=0}^{n} s_i^{n+1} \right]^{\frac{1}{n+1} } \mathop{⇝}\limits_{0≤s_i} \sup\limits_{i} s_i$
$\left[ \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \dfrac{s_n}{t_n} ⇝ r,∞^{±} \right] ⇔ \left[ \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \left[ \sum\limits_{i=0}^{n} s_n \right]^{+1} · \left[ \sum\limits_{i=0}^{n} t_n \right]^{-1} ⇝r,∞^{±} \right]$
$\left[ \lim\limits_{n⇝∞^{+} } s_n · t_n \mathop{⇝}\limits_{\lim\limits_{n⇝∞^{+} } t_n ⇝ t,∞^{±} }^{\lim\limits_{n⇝∞^{+} } s_n ⇝ s,∞^{±} } r,∞^{±} \right] ⇒ \left[ \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \dfrac{1}{n + 1} · \sum\limits_{i=0}^{n} s_i · t_{n-i} ⇝ r,∞^{±} \right]$
| $⇓$ | $\lim\limits_{n⇝∞^{+} } s_n ⇝ s$ | $⇒$ | $∀ε>0;∃N∈ℕ;∀n≥N; \left | \dfrac{1}{n + 1} · \sum\limits_{i=0}^{n} s_i - s \right | ≤ \left | \dfrac{1}{n + 1} · \sum\limits_{i=0}^{N-1} (s_i - s) \right | + \left | \dfrac{1}{n + 1} · \sum\limits_{i=N}^{n} (s_i - s) \right | ≤ \dfrac{\mathrm{Sum} }{n + 1} + \dfrac{n - N + 1}{n + 1} · ε_0 ≤ ε$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $⇓$ | $\lim\limits_{n⇝∞^{+} } s_n ⇝ ∞^{+}$ | $\mathop{⇒}\limits_{\sum\limits_{i=0}^{n} t_i = \sum\limits_{i=0}^{N} \mathrm{Inf} + \sum\limits_{i=0}^{n} s_i}^{t_N=s_N+\mathrm{Inf}>0}$ | $\left[ \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \dfrac{1}{n + 1} · \sum\limits_{i=0}^{n} \dfrac{1}{t_i} ⇝ 0^{+} \right] ⇒ \left[ \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \left[ \dfrac{1}{n + 1} · \sum\limits_{i=0}^{n} t_i^{-1} \right]^{-1} ⇝ ∞^{+} \right] ⇒ \left[ \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \dfrac{1}{n + 1} · \sum\limits_{i=0}^{n} t_i ⇝ ∞^{+} \right] ⇒ \left[ \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \dfrac{1}{n + 1} · \sum\limits_{i=0}^{n} s_i ⇝ ∞^{+} \right]$ | ||||||
| $⇓$ | $\lim\limits_{n⇝∞^{+} } s_n ⇝ ∞^{-}$ | $⇒$ | $\left[ \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \dfrac{1}{n + 1} · \sum\limits_{i=0}^{n} (-s_i) ⇝ ∞^{+} \right] ⇒ \left[ \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \dfrac{1}{n + 1} · \sum\limits_{i=0}^{n} s_i ⇝ ∞^{-} \right]$ | ||||||
| $⇓$ | $\lim\limits_{n⇝∞^{+} } s_n ⇝ s,∞^{±}$ | $⇒$ | $\lim\limits_{n⇝∞⁺} \dfrac{1}{n} · \sum\limits_{i=0}^n s_i = \lim\limits_{n⇝∞⁺} \dfrac{n}{n + 1} · \dfrac{1}{n} · \sum\limits_{i=0}^{n} s_i = \lim\limits_{n⇝∞⁺} \dfrac{1}{n + 1} · \sum\limits_{i=0}^n s_i ⇝ s,∞^{±}$ | ||||||
| $⇓$ | $\lim\limits_{n⇝∞⁺} \dfrac{1}{n + 1} · \sum\limits_{i=0}^n s_i ⇝ s$ | $⇒$ | $\left[ \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \sum\limits_{i=0}^{n} s_i = \lim\limits_{n⇝∞^{+} } (n + 1) · s \right] ⇒ \left[ \lim\limits_{n⇝∞^{+} } s_{n} = \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \left[ \sum\limits_{i=0}^{n} s_i - \sum\limits_{i=0}^{n-1} s_i \right] = \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \left[ (n + 1) · s - n · s \right] ⇝ s \right]$ | ||||||
| $⇓$ | $\lim\limits_{n⇝∞⁺} \dfrac{1}{n + 1} · \sum\limits_{i=0}^n s_i ⇝ s,∞^{±}$ | $⇒$ | $\lim\limits_{n⇝∞^{+} } s_{n} ⇝ s,∞^{±}$ | ||||||
| $⇓$ | $\lim\limits_{n⇝∞^{+} } s_n^{-1} \mathop{⇝}\limits_{0<s_n} s^{-1},0^{+}$ | $\left[ \dfrac{1}{n + 1} · \sum\limits_{i=0}^{n} s_i^{-1} \right]^{-1} \mathop{≤}\limits_{0<s_i} \left[ \prod\limits_{i=0}^{n} s_i \right]^{\frac{1}{n+1} } \mathop{≤}\limits_{0≤s_i} \left[ \dfrac{1}{n + 1} · \sum\limits_{i=0}^{n} s_i^{+1} \right]^{+1}$ | |||||||
| $⇓$ | $\lim\limits_{n⇝∞⁺} s_n^{+1} \mathop{⇝}\limits_{0<s_n} s^{+1},∞^{+}$ | $⇒$ | $\lim\limits_{n⇝∞^{+} } \left[ \prod\limits_{i=0}^{n} s_i \right]^{\frac{1}{n} } = \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \left[ \prod\limits_{i=0}^{n} s_i \right]^{\frac{1}{n} · \frac{n}{n+1} } = \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \left[ \prod\limits_{i=0}^{n} s_i \right]^{\frac{1}{n+1} } ⇝ s$ | ||||||
| $⇓$ | $\sup\limits_{i≤n} s_i \mathop{=}\limits_{0≤s_i} \left[\sup\limits_{i≤n} s_i\right]^{\frac{n+1}{n+1} } \mathop{≤}\limits_{0≤s_i} \left[\sum\limits_{i=0}^{n} s_i^{n+1}\right]^{\frac{1}{n+1} } \mathop{≤}\limits_{0≤s_i} \left[(n + 1) · \sup\limits_{i≤n} s_i\right]^{\frac{1}{n+1} } \mathop{=}\limits_{0≤s_i} \sqrt[n+1]{n+1} · \sup\limits_{i≤n} s_i$ | ||||||||
| $⇓$ | $\lim\limits_{n⇝∞^{+} } \left[ \sum\limits_{i=0}^{n} s_i^{n+1} \right]^{\frac{1}{n+1} } \mathop{⇝}\limits_{0≤s_i} \sup\limits_{i} s_i$ | ||||||||
| $⇓$ | $\lim\limits_{n⇝∞^{+} } \dfrac{s_n}{t_n} ⇝ r$ | $⇔$ | $\left[ \lim\limits_{n⇝∞^{+} } s_n = \lim\limits_{n⇝∞^{+} } r · t_n \right] ⇔ \left[ \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \dfrac{1}{n + 1} · \sum\limits_{i=0}^{n} (s_n - r · t_n) ⇝ 0 \right] ⇔ \left[ \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \dfrac{1}{n + 1} · \sum\limits_{i=0}^{n} s_n = \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \dfrac{r}{n + 1} · \sum\limits_{i=0}^{n} t_n \right]$ | ||||||
| $⇓$ | $\lim\limits_{n⇝∞^{+} } \dfrac{s_n}{t_n} ⇝ r,∞^{±}$ | $⇔$ | $\lim\limits_{n⇝∞^{+} } \left[ \sum\limits_{i=0}^{n} s_n \right]^{+1} · \left[ \sum\limits_{i=0}^{n} t_n \right]^{-1} = \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \left[ \dfrac{r}{n + 1} · \sum\limits_{i=0}^{n} t_n \right]^{+1} · \left[ \dfrac{1}{n + 1} · \sum\limits_{i=0}^{n} t_n \right]^{-1} ⇝ r,∞^{±}$ | ||||||
| $⇓$ | $\lim\limits_{n⇝∞^{+} } s_n · t_n \mathop{⇝}\limits_{\lim\limits_{n⇝∞^{+} } t_n ⇝ t}^{\lim\limits_{n⇝∞^{+} } s_n ⇝ s} r$ | $⇒$ | $r ⇜ \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \left[ \dfrac{1}{n + 1} · \sum\limits_{i=0}^{n} s_i \right] · \lim\limits_{m⇝∞^{+} } \left[ \dfrac{1}{m + 1} · \sum\limits_{i=0}^{m} t_i \right] = \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \left[ \dfrac{1}{n + 1} · \sum\limits_{m=0}^{n} \dfrac{1}{n + 1} · \sum\limits_{i=0}^{m} s_i · t_{n-i} \right] = \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \dfrac{1}{n + 1} · \sum\limits_{i=0}^{n} s_i · t_{n-i}$ | ||||||
| $⇓$ | $\lim\limits_{n⇝∞^{+} } s_n · t_n \mathop{⇝}\limits_{\lim\limits_{n⇝∞^{+} } t_n ⇝ t,∞^{±} }^{\lim\limits_{n⇝∞^{+} } s_n ⇝ s,∞^{±} } r,∞^{±}$ | $⇒$ | $\lim\limits_{n⇝∞^{+} } \dfrac{1}{n + 1} · \sum\limits_{n⇝∞^{+} }^{n} s_i · t_{n-i} ⇝ r,∞^{±}$ |
反例：数列极限$\lim\limits_{n⇝∞^{+} } \sum\limits_{i=0}^{n} \dfrac{1}{n + 1} ⇝ ∞^{+}$，并且$\lim\limits_{n⇝∞^{+} } \left. \left[ \dfrac{1}{n + 1} · \sum\limits_{i=0}^{n} \dfrac{1}{n + 1} \right] \middle/ \left[ \dfrac{1}{n + 1} \right] \right. = \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \sum\limits_{i=0}^{n} \dfrac{1}{n + 1} ⇝ ∞^{+} ≠ 1$。
$∞^{+} ⇜ \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \sum\limits_{i=0}^{n} \dfrac{1}{n + 1} = \lim\limits_{n⇝∞^{+} } (n + 1) · \left[ \dfrac{1}{n + 1} · \sum\limits_{i=0}^{n} \dfrac{1}{n + 1} \right] \not≡ \lim\limits_{n⇝∞^{+} } (n + 1) · \dfrac{1}{n + 1} = 1$
反例：数列极限$\lim\limits_{n⇝∞⁺} \sum\limits_{i=0}^n (-1)^i · i ⇝ ∞$。
$∞ ⇜ \lim\limits_{n⇝∞⁺} (-i)^i · i ≠ \lim\limits_{n⇝∞⁺} \dfrac{1}{n + 1} · \sum\limits_{i=0}^n (-1)^i · i = \lim\limits_{2 · n⇝∞⁺} \dfrac{0 + (-1 + 2) + (-3 + 4) + ··· + [-(2 · n + 1) + 2 · n]}{2 · n + 1} = \lim\limits_{n⇝∞⁺} \dfrac{n}{2 · n + 1} ⇝ \dfrac{1}{2}$
典例：级数$\lim\limits_{n⇝∞^{+} } \sum\limits_{i=0}^{n} s_i ⇝ S$，且$\lim\limits_{n⇝∞^{+} } t_n ⇝ t,∞^{±}$。
$\lim\limits_{n⇝∞^{+} } \dfrac{1}{t_n} · \left[ \sum\limits_{i=0}^{n} t_i · s_i \right] \mathop{==}\limits^{S_0=0} \lim\limits_{n⇝∞^{±} } \dfrac{1}{t_n} · \left[ \sum\limits_{i=0}^{n} t_{i} · (S_{i+1} - S_{i}) \right] = \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \dfrac{1}{t_n} · \left[ \sum\limits_{i=0}^{n} t_{i} · S_{i+1} - \sum\limits_{i=0}^{n-1} t_{i+1} · S_{i+1} \right] = \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \left[ \dfrac{1}{t_n} · \left[ \sum\limits_{i=0}^{n-1} (t_{i+1} - t_{i}) · S_{i+1} \right] + S_{n+1} \right] = \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \dfrac{t_{n} - t_{n-1} }{t_{n} - t_{n-1} } · S_{n} + \lim\limits_{n⇝∞^{+} } S_{n+1} ⇝ 0$
调和数列极限
$1 ⇜ \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \dfrac{1}{\ln(n)} · \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{i}$
| $⇓$ | $\dfrac{x}{1 + x} \mathop{≤}\limits_{x>-1} \ln(1 + x) \mathop{≤}\limits_{x>-1} x$ | $⇒$ | $\dfrac{1}{n^{m} } = \dfrac{1}{n^{m} - 1} · \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{n^{m} - 1} } ≤ \ln\left( 1 + \dfrac{1}{n^{m} - 1} \right) ≤ \dfrac{1}{n^{m} - 1}$ |
|---|---|---|---|
| $⇓$ | $\dfrac{1}{n^m} ≤ \ln\dfrac{n^m}{n^m - 1} ≤ \dfrac{1}{n^m - 1}$ | $\dfrac{α}{x + α} \mathop{≤}\limits_{x·(x+α)>0} \ln\left( 1 + \dfrac{α}{x} \right) \mathop{≤}\limits_{x·(x+α)>0} \dfrac{α}{x}$ | |
| $⇓$ | $\dfrac{1}{n} ≤ \ln\left( \dfrac{n}{n - 1} \right) ≤ \dfrac{1}{n - 1}$ | $⇒$ | $\dfrac{1}{n} ≤ \ln(n) - \ln(n - 1) ≤ \dfrac{1}{n - 1}$ |
| $⇓$ | $\sum\limits_{i=2}^{n} \dfrac{1}{i} ≤ \ln(n) ≤ \sum\limits_{i=2}^{n} \dfrac{1}{i - 1}$ | $s_{n} ≡ \ln(n) - \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{i}$ | |
| $⇓$ | $-1 ≤ \ln(n) - \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{i} ≤ \sum\limits_{i=2}^{n} \dfrac{1}{i - 1} - \sum\limits_{i=2}^{n} \dfrac{1}{i} - 1 = \sum\limits_{i=2}^{n} \dfrac{1}{i - 1} - \sum\limits_{i=2}^{n} \dfrac{1}{i - 1} -\dfrac{1}{n} = -\dfrac{1}{n}$ | $s_{n+1} - s_{n} = \ln\left( \dfrac{n + 1}{n} \right) - \dfrac{1}{n + 1} = \ln\left( 1 + \dfrac{1}{n} \right) - \dfrac{1}{n + 1} > 0$ | |
| $⇓$ | $0 ⇜ \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \dfrac{1}{\ln(n)} · \left[ \ln(n) - \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{i} \right]$ | $⇒$ | $1 ⇜ \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \dfrac{1}{\ln(n)} · \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{i}$ |
| $⇓$ | $\dfrac{1}{n^{2} } ≤ \ln\left( \dfrac{n^2}{n^2 - 1} \right) ≤ \dfrac{1}{n^2 - 1}$ | $⇒$ | $\dfrac{1}{n^2} ≤ [\ln(n) - \ln(n - 1)] + [\ln(n) - \ln(n + 1)] ≤ \dfrac{1}{n^2 - 1}$ |
| $⇓$ | $\sum\limits_{i=2}^{n} \dfrac{1}{n^{2} } ≤ \ln(n) + [\ln(2) - \ln(n + 1)] = \ln \dfrac{2 · n}{n + 1} ≤ \sum\limits_{i=2}^{n} \dfrac{1}{n^2 - 1}$ | $s_{n} ≡ \ln \dfrac{2 · n}{n + 1} - \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{i^2}$ | |
| $⇓$ | $-1 ≤ \ln \dfrac{2 · n}{n + 1} - \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{i^2} ≤ \sum\limits_{i=2}^{n} \dfrac{1}{i^2 - 1} - \sum\limits_{i=2}^{n} \dfrac{1}{i^2} - 1 = \sum\limits_{i=2}^{n} \dfrac{1}{i^2 - 1} - \sum\limits_{i=2}^{n} \dfrac{1}{(i - 1)^2} - \dfrac{1}{n^2} < -\dfrac{1}{n^2}$ | $s_{n+1} - s_{n} = \ln \dfrac{(n + 1)^2}{n · (n + 1)} - \dfrac{1}{(n + 1)^2} = \ln\left[ 1 + \dfrac{1}{(n + 1)^2 - 1} \right] - \dfrac{1}{(n + 1)^2} > 0$ | |
| $⇓$ | $\dfrac{-1}{\ln 2} ⇜ \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \dfrac{-1}{\ln \dfrac{2 · n}{n + 1} } ≤ \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \dfrac{1}{\ln \dfrac{2 · n}{n + 1} } · \left[ \ln \dfrac{2 · n}{n + 1} - \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{i^2} \right] ≤ \lim\limits_{n⇝∞^{+} } \dfrac{-1}{n^2 · \ln \dfrac{2 · n}{n + 1} } ⇝ 0$ |
初等导函数
| $\dfrac{\mathrm{d} f(x)^{g(x)} }{\mathrm{d} x} = f(x)^{g(x)} · \left[ \dfrac{\mathrm{d} g(x)}{\mathrm{d} x} · \ln | f(x) | + \dfrac{g(x)}{f(x)} · \dfrac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x} \right]$ | ||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\dfrac{\mathrm{d} f(-x)}{\mathrm{d} x} \mathop{===}\limits^{t=-x} -\dfrac{\mathrm{d} f(t)}{\mathrm{d} t}$ | $\dfrac{\mathrm{d} f(g(x))}{\mathrm{d} x} \mathop{===}\limits^{y=g(x)} \dfrac{\mathrm{d} f(y)}{\mathrm{d} y} · \dfrac{\mathrm{d} g(x)}{\mathrm{d} x}$ | $t \mathop{==}\limits^{x<0} -x$ | ||||||||||||||||||
| $f (x)$ | $\dfrac{\mathrm{d}{‘}f^{⇵}(x)}{\mathrm{d} x} \mathop{====}\limits_{y={‘}f^{⇵}(x)}^{x=f^{⇵}(y)} \left[ \dfrac{\mathrm{d} f^{⇵}(y)}{\mathrm{d} y} \right]^{-1}$ | $\mathop{==}\limits_{X}^{f(X)}$ | $\lim\limits_{x_t⇝x} \dfrac{f(x_t) - f(x)}{x_t - x} \mathop{====}\limits^{x_t=x+Δx} \lim\limits_{Δx⇝0} \dfrac{f(x + Δx) - f(x)}{Δx}$ | |||||||||||||||||
| $\mathrm{Con}$ | $0$ | $\mathop{====}\limits_{(∞^{-},∞^{+})}^{\mathrm{Con} }$ | $\lim\limits_{x_t⇝x} \dfrac{\mathrm{Con} - \mathrm{Con} }{x_t - x} ⇝ 0$ | |||||||||||||||||
| $ | x | $ | $\dfrac{ | x | }{x}$ | $\mathop{===}\limits_{(∞^{-},0)}^{(0,∞^{+})};\mathop{=}\limits_{0}^{0};\mathop{===}\limits_{(0,∞^{+})}^{(0,∞^{+})}$ | $\lim\limits_{x_t⇝x>0} \dfrac{x_t - x}{x_t - x} ⇝ +1$ | $-1$ | ||||||||||||
| $\mathop{\log_β | x | }\limits_{0<β≠1}$ | $\dfrac{1}{x · \ln β}$ | $\mathop{====}\limits_{(∞^{-},0)}^{(∞^{-},∞^{+})};\mathop{====}\limits_{(0,∞^{+})}^{(∞^{-},∞^{+})}$ | $\lim\limits_{x_t⇝x>0} \dfrac{\log_β x_t - \log_β x}{x_t - x} = \lim\limits_{x_t⇝x} \log_{β} \left( \dfrac{x_t}{x} \right)^{\frac{1}{x_t - x} } = \dfrac{1}{\ln β} · \lim\limits_{x_t⇝x} \ln \left( 1 + \dfrac{x_t - x}{x} \right)^{\frac{x}{x_t-x} · \frac{1}{x} } ⇝ \dfrac{1}{x · \ln β}$ | $\dfrac{-1}{t·\ln β}$ | ||||||||||||||
| $\ln | x | $ | $\dfrac{1}{x}$ | $\mathop{====}\limits_{(∞^{-},0)}^{(∞^{-},∞^{+})};\mathop{====}\limits_{(0,∞^{+})}^{(∞^{-},∞^{+})}$ | ||||||||||||||||
| $\mathop{β^x}\limits_{0<β≠1}$ | $β^x · \ln β$ | $\mathop{====}\limits_{(∞^{-},∞^{+})}^{(0,∞^{+})}$ | $\dfrac{\mathrm{d} β^{x} }{\mathrm{d} x} = \left[ \dfrac{\mathrm{d} \log_β y}{\mathrm{d} y} \right]^{-1} = \left[ \dfrac{1}{y · \ln β} \right]^{-1} = β^{x} · \ln β$ | |||||||||||||||||
| $ә^x$ | $ә^x$ | $\mathop{====}\limits_{(∞^{-},∞^{+})}^{(0,∞^{+})}$ | ||||||||||||||||||
| $ | x | ^{α}$ | $α · | x | ^{α} · x^{-1}$ | $\mathop{===}\limits_{(∞^{-},0)}^{(0,∞^{+})};\mathop{=}\limits_{0}^{0};\mathop{===}\limits_{(0,∞^{+})}^{(0,∞^{+})}$ | $\dfrac{\mathrm{d} | x | ^α}{\mathrm{d} x} = | x | ^{α} · \left[ \dfrac{\mathrm{d} α}{\mathrm{d} x} · \ln | x | + \dfrac{α}{ | x | } · \dfrac{ | x | }{x} \right] = α · | x | ^{α} · x^{-1}$ | |
| $x^{α}$ | $α · x^{α - 1}$ | $\mathop{0<α}\limits_{(∞^{-},0)}^{(0,∞^{+})};\mathop{=}\limits_{0}^{0};\mathop{===}\limits_{(0,∞^{+})}^{(0,∞^{+})}$ | $\dfrac{\mathrm{d} x^{α} }{\mathrm{d} x} = x^{α} · \left[ \dfrac{\mathrm{d} α}{\mathrm{d} x} · \ln | x | + \dfrac{α}{x} · \dfrac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x} \right] = α · x^{α-1}$ | |||||||||||||||
| $x^x$ | $x^{x} · [\ln | x | + 1]$ | $\mathop{===}\limits_{(∞^{-},0)}^{?};\mathop{=}\limits_{0}^{0};\mathop{=====}\limits_{(0,∞^{+})}^{(ә^{-ә^{-1} },∞^{+})}$ | $\dfrac{\mathrm{d} x^x}{\mathrm{d} x} = x^{x} · \left[ \dfrac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x} · \ln | x | + \dfrac{x}{x} · \dfrac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x} \right] = x^{x} · [\ln | x | + 1]$ | |||||||||||
| $\sin x = \dfrac{ә^{τ·x} - ә^{-τ·x} }{2 · τ}$ | $+\cos x = \sin \left( x + h · \dfrac{π}{2} \right)$ | $\mathop{2·k·π}\limits_{(-π,+π)}^{[-1,+1]}$ | $\dfrac{\mathrm{d} \sin x}{\mathrm{d} x} = \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \dfrac{ә^{τ·x} - ә^{-τ·x} }{2 · τ} = +\dfrac{ә^{τ·x} + ә^{-τ·x} }{2} = +\cos x$ | |||||||||||||||||
| $\cos x = \dfrac{ә^{τ·x} + ә^{-τ·x} }{2}$ | $-\sin x = \cos \left( x + h · \dfrac{π}{2} \right)$ | $\mathop{2·k·π}\limits_{(-π,+π)}^{[-1,+1]}$ | $\dfrac{\mathrm{d} \cos x}{\mathrm{d} x} = \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \dfrac{ә^{τ·x} + ә^{-τ·x} }{2} = -\dfrac{ә^{τ·x} - ә^{-τ·x} }{2 · τ} = -\sin x$ | |||||||||||||||||
| $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ | $+\cos^{-2} x$ | $\mathop{k·π}\limits_{(-\frac{π}{2},+\frac{π}{2})}^{(∞^{-},∞^{+})}$ | $\dfrac{\mathrm{d} \tan x}{\mathrm{d} x} = \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \dfrac{\sin x}{\cos x} = \dfrac{+\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = +\cos^{-2} x$ | |||||||||||||||||
| $\tan^{-1} x$ | $-\sin^{-2} x$ | $\mathop{k·π}\limits_{(0,+π)}^{(∞^{-},∞^{+})}$ | $\dfrac{\mathrm{d} \tan^{-1} x}{\mathrm{d} x} = (-1) · \tan^{-2} x · \cos^{-2} x = - \sin^{-2} x$ | |||||||||||||||||
| $\cos^{-1} x$ | $+\cos^{-2} x · \sin x$ | $\mathop{2·k·π}\limits_{(-\frac{π}{2},+\frac{π}{2})}^{[+1,∞^{+})};\mathop{2·k·π}\limits_{(+\frac{π}{2},\frac{3·π}{2})}^{(∞^{-},-1]}$ | $\dfrac{\mathrm{d} \cos^{-1} x}{\mathrm{d} x} = (-1) · \cos^{-2} x · (-\sin x) = +\cos^{-2} x · \sin x$ | |||||||||||||||||
| $\sin^{-1} x$ | $-\sin^{-2} x · \cos x$ | $\mathop{2·k·π}\limits_{(-π,0)}^{(∞^{-},-1]};\mathop{2·k·π}\limits_{(0,+π)}^{[+1,∞^{+}]}$ | $\dfrac{\mathrm{d} \sin^{-1} x}{\mathrm{d} x} = (-1) · \sin^{-2} x · (+\cos x) = -\sin^{-2} x · \cos x$ | |||||||||||||||||
| ${‘}\sin x$ | $\dfrac{+1}{\sqrt{1 - x^2} }$ | $\mathop{=====}\limits_{[-1,+1]}^{[-\frac{π}{2},+\frac{π}{2}]}$ | $\dfrac{\mathrm{d} {‘}\sin x}{\mathrm{d} x} = \left[ \dfrac{\mathrm{d} \sin y}{\mathrm{d} y} \right]^{-1} = \dfrac{+1}{\cos y} = \dfrac{+1}{\sqrt{1 - \sin^2 y} } = \dfrac{+1}{\sqrt{1 - x^2} }$ | |||||||||||||||||
| ${‘}\cos x$ | $\dfrac{-1}{\sqrt{1 - x^2} }$ | $\mathop{====}\limits_{[-1,+1]}^{\left[+0,+π \right]}$ | $\dfrac{\mathrm{d} {‘}\cos x}{\mathrm{d} x} = \left[ \dfrac{\mathrm{d} \cos y}{\mathrm{d} y} \right]^{-1} = \dfrac{-1}{\sin y} = \dfrac{-1}{\sqrt{1 - \cos^2 y} } = \dfrac{-1}{\sqrt{1 - x^2} }$ | |||||||||||||||||
| ${‘}\tan x$ | $\dfrac{+1}{1 + x^2}$ | $\mathop{=====}\limits_{(∞^{-},∞^{+})}^{(-\frac{π}{2},+\frac{π}{2})}$ | $\dfrac{\mathrm{d} {‘}\tan x}{\mathrm{d} x} = \left[ \dfrac{\mathrm{d} \tan y}{\mathrm{d} y} \right]^{-1} = \dfrac{+1}{\cos^{-2} y} = \dfrac{+1}{1 + \tan^2 y} = \dfrac{+1}{1 + x^2}$ | |||||||||||||||||
| ${‘}\tan^{-1} x$ | $\dfrac{-1}{1 + x^2}$ | $\mathop{====}\limits_{(∞^{-},0^{-})}^{(-\frac{π}{2},0^{-})};\mathop{====}\limits_{(0^{+},∞^{+})}^{(0^{+},+\frac{π}{2})}$ | $\dfrac{\mathrm{d} {‘}\tan^{-1} x}{\mathrm{d} x} = \left[ \dfrac{\mathrm{d} \tan^{-1} y}{\mathrm{d} y} \right]^{-1} = \dfrac{-1}{\sin^{-2} y} = \dfrac{-1}{1 + \tan^{-2} y} = \dfrac{-1}{1 + x^2}$ | |||||||||||||||||
| ${‘}\cos^{-1} x$ | $\dfrac{+1}{ | x | · \sqrt{x^2 - 1} }$ | $\mathop{====}\limits_{(∞^{-},-1]}^{(+\frac{π}{2},+π]};\mathop{====}\limits_{[+1,∞^{+})}^{[+0,+\frac{π}{2})}$ | $\dfrac{\mathrm{d} {‘}\cos^{-1} x}{\mathrm{d} x} = \left[ \dfrac{\mathrm{d} \cos^{-1} y}{\mathrm{d} y} \right]^{-1} = \dfrac{+1}{\cos^{-2} y · \sin y} = \dfrac{+1}{\cos^{-2} y · \sqrt{1 - \cos^2 y} } = \dfrac{+1}{ | x | · \sqrt{x^2 - 1} }$ | |||||||||||||
| ${‘}\sin^{-1} x$ | $\dfrac{-1}{ | x | · \sqrt{x^2 - 1} }$ | $\mathop{====}\limits_{(∞^{-},-1]}^{(0^{-},-\frac{π}{2}]};\mathop{====}\limits_{[+1,∞^{+})}^{[+\frac{π}{2},0^{+})}$ | $\dfrac{\mathrm{d} {‘}\sin^{-1} x}{\mathrm{d} x} = \left[ \dfrac{\mathrm{d} \sin^{-1} y}{\mathrm{d} y} \right]^{-1} = \dfrac{-1}{\sin^{-2} y · \cos y} = \dfrac{-1}{\sin^{-2} y · \sqrt{1 - \sin^{2} y} } = \dfrac{-1}{ | x | · \sqrt{x^2 - 1} }$ | |||||||||||||
| $\sinh x = \dfrac{ә^{x} - ә^{-x} }{2}$ | $+\cosh x$ | $\mathop{====}\limits_{(∞^{-},∞^{+})}^{(∞^{-},∞^{+})}$ | $\dfrac{\mathrm{d} \sinh x}{\mathrm{d} x} = \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \dfrac{ә^{x} - ә^{-x} }{2} = \dfrac{ә^{x} + ә^{-x} }{2} = +\cosh x$ | |||||||||||||||||
| $\cosh x = \dfrac{ә^{x} + ә^{-x} }{2}$ | $+\sinh x$ | $\mathop{====}\limits_{(∞^{-},∞^{+})}^{[+1,∞^{+})}$ | $\dfrac{\mathrm{d} \cosh x}{\mathrm{d} x} = \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \dfrac{ә^{x} + ә^{-x} }{2} = \dfrac{ә^{x} - ә^{-x} }{2} = +\sinh x$ | |||||||||||||||||
| $\tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x}$ | $+\cosh^{-2} x$ | $\mathop{====}\limits_{(∞^{-},∞^{+})}^{(-1,+1)}$ | $\dfrac{\mathrm{d} \tanh x}{\mathrm{d} x} = \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \dfrac{\sinh x}{\cosh x} = \dfrac{\cosh^2 x - \sinh^2 x}{\cosh^2 x} = +\cosh^{-2} x$ | |||||||||||||||||
| $\tanh^{-1} x$ | $-\sinh^{-2} x$ | $\mathop{====}\limits_{(∞^{-},0^{-})}^{(∞^{-},-1)};\mathop{====}\limits_{(0^{+},∞^{+})}^{(+1,∞^{+})}$ | $\dfrac{\mathrm{d} \tanh^{-1} x}{\mathrm{d} x} = (-1) · \tanh^{-2} x · (+\cosh^{-2} x) = -\sinh^{-2} x$ | |||||||||||||||||
| $\cosh^{-1} x$ | $-\cosh^{-2} x · \sinh x$ | $\mathop{====}\limits_{(∞^{-},∞^{+})}^{(0^{+},+1]}$ | $\dfrac{\mathrm{d} \cosh^{-1} x}{\mathrm{d} x} = (-1) · \cosh^{-2} x · (+\sinh x) = -\cosh^{-2} x · \sinh x$ | |||||||||||||||||
| $\sinh^{-1} x$ | $-\sinh^{-2} x · \cosh x$ | $\mathop{====}\limits_{(∞^{-},0^{-})}^{(∞^{-},0^{-})};\mathop{====}\limits_{(0^{+},∞^{+})}^{(0^{+},∞^{+})}$ | $\dfrac{\mathrm{d} \sinh^{-1} x}{\mathrm{d} x} = (-1) · \sinh^{-2} x · (+\cosh x) = -\sinh^{-2} x · \cosh x$ | |||||||||||||||||
| ${‘}\sinh x$ | $\dfrac{+1}{\sqrt{x^2 + 1} }$ | $\mathop{====}\limits_{(∞^{-},∞^{+})}^{(∞^{-},∞^{+})}$ | $\dfrac{\mathrm{d} {‘}\sinh x}{\mathrm{d} x} = \left[ \dfrac{\mathrm{d} \sinh y}{\mathrm{d} y} \right]^{-1} = \dfrac{+1}{\cosh y} = \dfrac{+1}{\sqrt{\sinh^2 x + 1} } = \dfrac{+1}{\sqrt{x^2 + 1} }$ | |||||||||||||||||
| ${‘}\cosh x$ | $\dfrac{+1}{\sqrt{x^2 - 1} }$ | $\mathop{====}\limits_{[+1,∞^{+})}^{[+0,∞^{+})}$ | $\dfrac{\mathrm{d} {‘}\cosh x}{\mathrm{d} x} = \left[ \dfrac{\mathrm{d}\cosh y}{\mathrm{d} y} \right] = \dfrac{+1}{\sinh y} = \dfrac{+1}{\sqrt{\cosh^2 y - 1} } = \dfrac{+1}{\sqrt{x^2 - 1} }$ | |||||||||||||||||
| ${‘}\tanh x$ | $\dfrac{+1}{1 - x^2}$ | $\mathop{====}\limits_{(-1,+1)}^{(∞^{-},∞^{+})}$ | $\dfrac{\mathrm{d} {‘}\tanh x}{\mathrm{d} x} = \left[ \dfrac{\mathrm{d} \tanh y}{\mathrm{d} y} \right]^{-1} = \dfrac{+1}{\cosh^{-2} y} = \dfrac{+1}{1 - \tanh^{2} y} = \dfrac{+1}{1 - x^2}$ | |||||||||||||||||
| ${‘}\tanh^{-1} x$ | $\dfrac{+1}{1 - x^2}$ | $\mathop{====}\limits_{(∞^{-},-1)}^{(∞^{-},0^{-})};\mathop{====}\limits_{(+1,∞^{+})}^{(0^{+},∞^{+})}$ | $\dfrac{\mathrm{d} {‘}\tanh^{-1} x}{\mathrm{d} x} = \left[ \dfrac{\mathrm{d} \tanh^{-1} y}{\mathrm{d} y} \right]^{-1} = \dfrac{-1}{\sinh^{-2} y} = \dfrac{-1}{\tanh^{-2} y - 1} = \dfrac{+1}{1 - x^{2} }$ | |||||||||||||||||
| ${‘}\cosh^{-1} x$ | $\dfrac{-1}{ | x | · \sqrt{1 - x^2} }$ | $\mathop{====}\limits_{(0^{-},+1]}^{[0,∞^{+})}$ | $\dfrac{\mathrm{d} {‘}\cosh^{-1} x}{\mathrm{d} x} = \left[ \dfrac{\mathrm{d} \cosh^{-1} y}{\mathrm{d} y} \right]^{-1} = \dfrac{-1}{\cosh^{-2} y · \sinh y} = \dfrac{-1}{\cosh^{-2} y · \sqrt{\cosh^{2} y - 1} } = \dfrac{-1}{ | x | · \sqrt{1 - x^2} }$ | |||||||||||||
| ${‘}\sinh^{-1} x$ | $\dfrac{-1}{ | x | · \sqrt{1 + x^2} }$ | $\mathop{====}\limits_{(∞^{-},0^{-})}^{(∞^{-},0^{-})};\mathop{====}\limits_{(0^{+},∞^{+})}^{(0^{+},∞^{+})}$ | $\dfrac{\mathrm{d} {‘}\sinh^{-1} x}{\mathrm{d} x} = \left[ \dfrac{\mathrm{d} \sinh^{-1} y}{\mathrm{d} y} \right]^{-1} = \dfrac{-1}{\sinh^{-2} y · \cosh y} = \dfrac{-1}{\sinh^{-2} y · \sqrt{\sinh^{2} y + 1} } = \dfrac{-1}{ | x | · \sqrt{1 + x^2} }$ |
初等原函数
| $f(x)$ | $\int f(x) \mathrm{d}x$ | $\int f(x) \mathrm{d}x$ | $X$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $\mathop{β^{x} }\limits_{0<β≠1}$ | $\mathrm{Con} + \dfrac{β^{x} }{\ln β}$ | ||||
| $ә^x$ | $\mathrm{Con} + ә^x$ | ||||
| $\mathop{x^{α} }\limits_{α≠-1}$ | $\mathrm{Con} + \dfrac{x^{α+1} }{α+1}$ | ||||
| $\dfrac{1}{x}$ | $\mathrm{Con}+\ln | x | $ | ||
| $\ln x$ | $\mathrm{Con} + x·\ln x - x$ | ||||
| $\sin x$ | $\mathrm{Con} - \cos x$ | ||||
| $\cos x$ | $\mathrm{Con} + \sin x$ | ||||
| $\tan x$ | $\mathrm{Con} - \ln | \cos x | $ | ||
| $\tan^{-1} x$ | $\mathrm{Con} + \ln | \sin x | $ | ||
| $\cos^{-1} x$ | $\mathrm{Con} + \ln \left | \tan \left( \dfrac{x}{2} + \dfrac{π}{4} \right) \right | $ | ||
| $\sin^{-1}x$ | $\mathrm{Con} + \ln\left | \tan \dfrac{x}{2}\right | $ | ||
| $\sin^{-2} x$ | $\mathrm{Con} - \tan^{-1} x$ | ||||
| $\cos^{-2} x$ | $\mathrm{Con} + \tan^{+1} x$ | ||||
| $\sinh x$ | $\mathrm{Con} + \cosh x$ | ||||
| $\cosh x$ | $\mathrm{Con} + \sinh x$ | ||||
| $\tanh x$ | $\mathrm{Con} + \ln | \cosh x | $ | ||
| $\tanh^{-1} x$ | $\mathrm{Con} + \ln | \sinh x | $ | ||
| $\cosh^{-1} x$ | $\mathrm{Con} + {‘}\tan(\sinh x)$ | ||||
| $\sinh^{-1} x$ | $\mathrm{Con} + \ln \left(\tanh \dfrac{x}{2} \right)$ | ||||
| $\sinh^{-2} x$ | $\mathrm{Con} - \tanh^{-1} x$ | ||||
| $\cosh^{-2} x$ | $\mathrm{Con} + \tanh^{+1} x$ | ||||
| $\dfrac{+1}{1 + x^2}$ | $\mathrm{Con} + {‘}\tan^{+1} x$ | $\mathrm{Con} + \dfrac{τ}{2} · \ln \dfrac{1 - τ · x}{1 + τ · x}$ | |||
| $\dfrac{-1}{1 + x^2}$ | $\mathrm{Con} + {‘}\tan^{-1} x$ | $\mathrm{Con} + \dfrac{τ}{2} · \ln \dfrac{x - τ}{x + τ}$ | |||
| $\dfrac{+1}{1 - x^2}$ | $\mathrm{Con} + {‘}\tanh^{+1} x$ | $\mathrm{Con} + \dfrac{1}{2} · \ln \dfrac{1 + x}{1 - x}$ | $(-1,+1)$ | ||
| $\dfrac{+1}{1 - x^2}$ | $\mathrm{Con} + {‘}\tanh^{-1} x$ | $\mathrm{Con} + \dfrac{1}{2} · \ln \dfrac{x + 1}{x - 1}$ | $(∞^{-},-1];[+1，∞^{+}]$ | ||
| $\dfrac{+1}{\sqrt{1 - x^2} }$ | $\mathrm{Con} + {‘}\sin x$ | $\mathrm{Con} -τ · \ln\left( τ · x + \sqrt{1 - x^2} \right)$ | |||
| $\dfrac{-1}{\sqrt{1 - x^2} }$ | $\mathrm{Con} + {‘}\cos x$ | $\mathrm{Con} -τ · \ln\left( x + \sqrt{x^2 - 1} \right)$ | |||
| $\dfrac{+1}{\sqrt{x^2 + 1} }$ | $\mathrm{Con} + {‘}\sinh x$ | $\mathrm{Con} + \ln\left( x + \sqrt{1 + x^2} \right)$ | |||
| $\dfrac{+1}{\sqrt{x^2 - 1} }$ | $\mathrm{Con} + {‘}\cosh x$ | $\mathrm{Con} + \ln\left( x + \sqrt{x^2 - 1} \right)$ | |||
初等幂级数
| $f (x)$ | ${^h}f (x)$ | $\sum\limits_{i=0}^n \dfrac{ {^i}f (0)}{i!} · x^i$ | $+ \dfrac{ {^{n+1}f (θ)} }{(n + 1)!} · x^{n + 1}$ | $(-R, +R)$ |
|---|---|---|---|---|
| $β^x$ | $β^x · \ln^h β$ | $\sum\limits_{i=0}^n \dfrac{\ln^i β}{i!} · x^i$ | $+ \dfrac{β^θ · \ln^{n + 1} β}{(n + 1)!} · x^{n + 1}$ | $(∞⁻, ∞⁺)$ |
| $ә^x$ | $ә^x$ | $\sum\limits_{i=0}^n \dfrac{1}{i!} · x^i$ | $+ \dfrac{ә^θ}{(n + 1)!} · x^{n + 1}$ | $(∞⁻, ∞⁺)$ |
| $\mathop{\log_β (1 + x)}\limits_{0<β≠1}$ | $\dfrac{(-1)^{h-1} · (h - 1)!}{(1 + x)^h · \ln β}$ | $\sum\limits_{i=\rlap{≡}{0,}1}^n \dfrac{(-1)^{i - 1} }{i · \ln β} · x^i$ | $+ \dfrac{(-1)^n}{(n + 1) · (1 + θ)^{n + 1} · \ln β} · x^{n + 1}$ | $(-1, +1)$ |
| $\ln (1 + x)$ | $\dfrac{(-1)^{h-1} · (h - 1)!}{(1 + x)^h}$ | $\sum\limits_{i=\rlap{≡}{0,}1}^n \dfrac{(-1)^{i-1} }{i} · x^i$ | $+ \dfrac{(-1)^n}{(n + 1) · (1 + θ)^{n + 1} } · x^{n + 1}$ | $(-1, +1]$ |
| $(1 + x)^{α}$ | $\dfrac{(1 + x)^{α} }{(1 + x)^h} · \prod\limits_{j=0}^{h-1} (α - j)$ | $\sum\limits_{i=0}^n \prod\limits_{j=0}^{i-1} \dfrac{α - j}{j + 1} · x^i$ | $+ \dfrac{(1 + θ)^{α} }{(1 + θ)^{n + 1} } · \prod\limits_{j=0}^n \dfrac{α - j}{j + 1} · x^{n + 1}$ | $\mathop{(-1, +1)}\limits_{α≤-1}; \mathop{(-1, +1]}\limits_{-1<α<0}; \mathop{[-1, +1]}\limits_{0<α}$ |
| $(1 + x)^{\frac{1}{2} }$ | $\dfrac{(1 + x)^{\frac{1}{2} } }{(1 + x)^h} · \prod\limits_{j=0}^{h-1} \dfrac{1 - 2 · j}{2}$ | $\sum\limits_{i=0}^n \prod\limits_{j=0}^{i-1} \dfrac{1 - 2 · j}{2 · (j + 1)} · x^i$ | $+ \dfrac{(1 + θ)^{\frac{1}{2} } }{(1 + θ)^{n+1} } · \prod\limits_{j=0}^n \dfrac{1 - 2 · j}{2 · (j + 1)} · x^{n + 1}$ | $[-1, +1]$ |
| $(1 + x)^{-\frac{1}{2} }$ | $\dfrac{1}{(1 + x)^{\frac{1}{2} + h} } · \prod\limits_{j=0}^{h-1} \dfrac{- 1 - 2 · j}{2}$ | $\sum\limits_{i=0}^n \prod\limits_{j=0}^{i-1} \dfrac{- 1 - 2 · j}{2 · (j + 1)} · x^i$ | $+ \dfrac{1}{(1 + θ)^{\frac{1}{2} + n + 1} } · \prod\limits_{j=0}^n \dfrac{- 1 - 2 · j}{2 · (j + 1)} · x^{n + 1}$ | $(-1, +1]$ |
| $\dfrac{1}{1 + x}$ | $\dfrac{(-1)^h · h!}{(1 + x)^{h + 1} }$ | $\sum\limits_{i=0}^n (-1)^i · x^i$ | $+ \dfrac{(-1)^{n+1} }{(1 + θ)^{n + 2} } · x^{n + 1}$ | $(-1, +1)$ |
| $\dfrac{1}{1 - x}$ | $\dfrac{h!}{(1 - x)^{h + 1} }$ | $\sum\limits_{i=0}^n x^i$ | $+ \dfrac{1}{(1 - θ)^{n + 2} } · x^{n + 1}$ | $(-1, +1)$ |
| $\sin x = \dfrac{ә^{τ · x} - ә^{-τ · x} }{2 · τ}$ | $τ^h · \dfrac{ә^{τ · x} - (-1)^h · ә^{-τ · x} }{2 · τ} = \sin \left( x + h · \dfrac{π}{2} \right)$ | $\sum\limits_{i=0}^n \dfrac{(-1)^{i} }{(2 · i + 1)!} · x^{2 · i + 1}$ | $+ \dfrac{(-1)^{n + 1} · \sin θ}{(2 · n + 3)!} · x^{2 · n + 3}$ | $(∞⁻, ∞⁺)$ |
| $\cos x = \dfrac{ә^{τ · x} + ә^{-τ · x} }{2}$ | $τ^h · \dfrac{ә^{τ · x} + (-1)^h · ә^{-τ · x} }{2} = \cos \left( x + h · \dfrac{π}{2} \right)$ | $\sum\limits_{i=0}^n \dfrac{(-1)^i}{(2 · i)!} · x^{2 · i}$ | $+ \dfrac{(-1)^{n + 1} · \cos θ}{(2 · n + 2)!} · x^{2 · n + 2}$ | $(∞⁻, ∞⁺)$ |
| $\sinh x = \dfrac{ә^x - ә^{-x} }{2}$ | $\dfrac{ә^x - (-1)^h · ә^{-x} }{2}$ | $\sum\limits_{i=0}^n \dfrac{1}{(2 · i + 1)!} · x^{2 · i + 1}$ | $+ \dfrac{ә^θ + ә^{-θ} }{2 · (2 · n + 3)!} · x^{2 · n + 3}$ | $(∞⁻, ∞⁺)$ |
| $\cosh x = \dfrac{ә^x + ә^{-x} }{2}$ | $\dfrac{ә^x + (-1)^h · ә^{-x} }{2}$ | $\sum\limits_{i=0}^n \dfrac{1}{(2 · i)!} · x^{2 · i}$ | $+ \dfrac{ә^θ + ә^{-θ} }{2 · (2 · n + 2)!} · x^{2 · n + 2}$ | $(∞⁻, ∞⁺)$ |
| ${‘}\tan x = \int\limits_0^x \dfrac{1}{1 + x^2} \mathrm{d} x$ | $\dfrac{1}{1 + x^2} = \sum\limits_{i=0}^{∞⁺} (-x^2)^i$ | $\sum\limits_{i=0}^{∞⁺} \dfrac{(-1)^i}{2 · i + 1} · x^{2 · i + 1}$ | $[-1, +1]$ |
附加证明：$f (x) = \mathop{(1 + x)^α}\limits_{α≠0}$的收敛点集为$\mathop{(-1, +1)}\limits_{α≤-1}; \mathop{(-1, +1]}\limits_{-1<α<0}; \mathop{[-1, +1]}\limits_{0<α}$。
| $⇓$ | $f (x) = \sum\limits_{i=0}^n \prod\limits_{j=0}^{i-1} \dfrac{α - j}{j + 1} · x^i = \sum\limits_{i=0}^n \prod\limits_{j=0}^{i-1} \dfrac{j - α}{j + 1} · (-x)^i$ | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $⇓$ | $R_n (x) = \dfrac{(1 + θ)^α}{(1 + θ)^{n + 1} } · \prod\limits_{j=0}^n \dfrac{α - j}{j + 1} · x^{n + 1} = \dfrac{(1 + θ)^α}{(1 + θ)^{n + 1} } · \prod\limits_{j=0}^n \dfrac{j - α}{j + 1} · (-x)^{n + 1}$ | ||||||||||
| $⇓$ | $\left[ 0 ≠ 1 \mathop{≤}\limits^{α≤-1} \lim\limits_{i⇝∞⁺} \prod\limits_{j=0}^{i-1} \left | \dfrac{j - α}{j + 1} \right | = \lim\limits_{i⇝∞⁺} | s_{i} (+1) | \right] ∧ \left[ \lim\limits_{n⇝∞⁺} \mathop{ | R_n (+1) | }\limits_{1≤1+θ≤2}^{0≤θ≤1} ≤ \lim\limits_{n⇝∞⁺} \dfrac{2^α}{1^{n + 1} } · \prod\limits_{j=0}^n \left | \dfrac{j - α}{j + 1} \right | \mathop{⇝}\limits^{-1 < α} 0 \right]$ | $⇒$ | $\mathop{[+0, +1)}\limits_{α≤-1}; \mathop{[+0, +1]}\limits_{-1<α}$ |
| $⇓$ | $\lim\limits_{i⇝∞⁺} i · \left[ \dfrac{s_i^+ (-1)}{s_{i+1}^+ (-1)} - 1 \right] \mathop{==}\limits^{j≥α} \lim\limits_{i⇝∞⁺} i · \left[ \prod\limits_{j=0}^{i-1} \dfrac{j - α}{j + 1} · \prod\limits_{j=0}^{i} \dfrac{j + 1}{j - α} - 1 \right] = \lim\limits_{i⇝∞⁺} i · \left[ \dfrac{i + 1}{i - α} - 1 \right] = 1 + α$ | $⇒$ | $\mathop{(-1, -0]}\limits_{α<0}; \mathop{[-1, -0]}\limits_{0<α}$ | ||||||||
| $⇓$ | $\mathop{(-1, +1)}\limits_{α≤-1}; \mathop{(-1, +1]}\limits_{-1<α<0}; \mathop{[-1, +1]}\limits_{0<α}$ |
复数积分
$\int\limits_{0}^{∞⁺} e^{-α · x} · e^{τ · β · x} \mathrm{d} x = \dfrac{α + τ · β}{α^2 + β^2}$
$\int\limits_0^{∞⁺} e^{- α · x} · \cos (β · x) \mathrm{d} x = \dfrac{α}{α^2 + β^2}$
$\int\limits_0^{∞⁺} e^{- α · x} · \sin (β · x) \mathrm{d} x = \dfrac{β}{α^2 + β^2}$
| $⇓$ | $\int\limits_{x_α}^{x_β} e^{-α · x} · e^{τ · β · x} \mathrm{d} x = \left[ \dfrac{e^{-α · x + τ · β · x} }{-α + τ · β} \right]{x_α}^{x_β} = \left[ \dfrac{e^{-α · x} }{-α + τ · β} · \dfrac{-α - τ · \beta}{-α - τ · \beta} · [\cos (β · x) + τ · \sin (β · x)] \right]{x_α}^{x_β}$ | ||
|---|---|---|---|
| $⇓$ | $\int\limits_{x_α}^{x_β} e^{-α · x} · e^{τ · β · x} \mathrm{d} x = \left[ \dfrac{e^{-α · x} }{α^2 + β^2} · [[ -α · \cos (β · x) + β · \sin (β · x) ] + τ · [ -α · \sin (β · x) - β · \cos (β · x) ]] \right]_{x_α}^{x_β}$ | $⇔$ | $\int\limits_{x_α}^{x_β} e^{-α · x} · [ \cos (β · x) + τ · \sin (β · x)] \mathrm{d} x$ |
| $⇓$ | $\int\limits_{x_α}^{x_β} e^{-α · x} · \cos (β · x) \mathrm{d} x = \left[ \dfrac{e^{-α · x} }{α^2 + β^2} · [ -α · \cos (β · x) + β · \sin (β · x)] \right]_{x_α}^{x_β}$ | $⇒$ | $\int\limits_0^{∞⁺} e^{- α · x} · \cos (β · x) \mathrm{d} x = \dfrac{α}{α^2 + β^2}$ |
| $⇓$ | $\int\limits_{x_α}^{x_β} e^{-α · x} · \sin (β · x) \mathrm{d} x = \left[ \dfrac{e^{-α · x} }{α^2 + β^2} · [-α · \sin (β · x) - β · \cos (β · x)] \right]_{x_α}^{x_β}$ | $⇒$ | $\int\limits_0^{∞⁺} e^{- α · x} · \sin (β · x) \mathrm{d} x = \dfrac{β}{α^2 + β^2}$ |
| $⇓$ | $⇒$ | $\int\limits_{0}^{∞⁺} e^{-α · x} · e^{τ · β · x} \mathrm{d} x = \dfrac{α + τ · β}{α^2 + β^2}$ |
指数积分
$\int\limits_{0}^{∞⁺} e^{-x^2} \mathrm{d} x = \dfrac{\sqrt{π} }{2}$
| $⇓$ | $\int\limits_0^{∞⁺} e^{-x^2} \mathrm{d} x \mathop{===}\limits^{t = x^2} \int\limits_0^{∞⁺} e^{-t} \dfrac{\mathrm{d} t}{2 · \sqrt{t} } = \dfrac{1}{2} · \int\limits_{0}^{∞⁺} t^{\frac{1}{2} - 1} · e^{-t} \mathrm{d} t = \dfrac{1}{2} · Γ \left( \dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{\sqrt{π} }{2}$ | $⇐$ | $Γ \left( \dfrac{1}{2} \right) = \sqrt{π}$ |
|---|---|---|---|
三角积分
$\int\limits_{0}^{\frac{π}{2} } \cos^n x \mathrm{d}x = \left[ \dfrac{π}{2} \right]^{\frac{1 + (-1)^n}{2} } · \left[ \prod\limits_{i=1}^n i^{(-1)^i} \right]^{(-1)^{n+1} }$
$\int\limits_{0}^{\frac{π}{2} } \sin^n x \mathrm{d} x = \int\limits_{0}^{\frac{π}{2} } \cos^n x \mathrm{d} x$
$\int\limits_{-π}^{+π} \dfrac{1 - r^2}{1 - 2 · r · \cos x + r^2} \mathrm{d} x = 2 · π$
| $⇓$ | $\int\limits_{0}^{\frac{π}{2} } f (\sin x) \mathrm{d} x \mathop{====}\limits^{x=\frac{π}{2}-t} -\int\limits_{\frac{π}{2} }^{0} f (\cos t) \mathrm{d} t = \int\limits_{0}^{\frac{π}{2} } f (\cos t) \mathrm{d} t$ | $⇒$ | $\int\limits_{0}^{\frac{π}{2} } \sin^n x \mathrm{d} x = \int\limits_{0}^{\frac{π}{2} } \cos^n x \mathrm{d} x$ |
|---|---|---|---|
| $⇓$ | $I_n = \int\limits_{0}^{\frac{π}{2} } \cos^n \mathrm{d} x = \int\limits_{0}^{\frac{π}{2} } \cos^{n-1} x \mathrm{d} \sin x = \left[ \cos^{n - 1} x · \sin x \right]{0}^{\frac{π}{2} } + (n - 1) · \int\limits{0}^{\frac{π}{2} } \cos^{n-2} x · \sin^2 x \mathrm{d} x$ | ||
| $⇓$ | $I_n = (n - 1) · \int\limits_{0}^{\frac{π}{2} } \cos^{n-2} x · [ 1 - \cos^2 x] \mathrm{d} x = (n - 1) · [ I_{n-2} - I_n ]$ | ||
| $⇓$ | $I_n = \dfrac{n - 1}{n} · I_{n-2}$ | ||
| $⇓$ | $I_{2·m} = \dfrac{π}{2} · \dfrac{1}{2} · \dfrac{3}{4} ··· \dfrac{2 · m - 3}{2 · m - 2} · \dfrac{2 · m - 1}{2 · m} = \dfrac{π}{2} · \left[ \prod\limits_{i=1}^{m} (2·i-1) \right]^{+1} · \left[ \prod\limits_{i=1}^{m}(2·i) \right]^{-1}$ | $⇐$ | $I_0 = \int\limits_{0}^{\frac{π}{2} } \cos^0 x \mathrm{d} x = \dfrac{π}{2}$ |
| $⇓$ | $I_{2·m+1} = 1 · \dfrac{2}{3} · \dfrac{4}{5} ··· \dfrac{2 · m - 2}{2 · m - 1} · \dfrac{2 · m}{2 · m + 1} = \left[ \prod\limits_{i=1}^{m}(2·i) \right]^{+1} · \left[ \prod\limits_{i=1}^{m}(2·i+1) \right]^{-1}$ | $⇐$ | $I_1 = \int\limits_{0}^{\frac{π}{2} } \cos^1 x \mathrm{d} x = [ \sin x ]_{0}^{\frac{π}{2} } = 1$ |
| $⇓$ | $I_n = \left[ \dfrac{π}{2} \right]^{\frac{1 + (-1)^n}{2} } · \left[ \prod\limits_{i=1}^n i^{(-1)^i} \right]^{(-1)^{n+1} }$ | ||
| $⇓$ | $\int\limits_{0}^{\frac{π}{2} } \cos^{2·m+1} x · \mathrm{d} x < \int\limits_{0}^{\frac{π}{2} } \cos^{2·m} x · \mathrm{d}x < \int\limits_{0}^{\frac{π}{2} } \cos^{2·m-1} x · \mathrm{d} x$ | ||
| $⇓$ | $I_{2·m+1} < I_{2·m} < I_{2·m-1}$ | $I_{2·m-1} = \left[ \prod\limits_{i=1}^{m-1}(2·i) \right]^{+1} · \left[ \prod\limits_{i=1}^{m-1}(2·i+1) \right]^{-1}$ | |
| $⇓$ | $\left[ \prod\limits_{i=1}^{m}(2·i) \right]^{+1} · \left[ \prod\limits_{i=1}^{m}(2·i+1) \right]^{-1} < \dfrac{π}{2} · \left[ \prod\limits_{i=1}^{m} (2·i-1) \right]^{+1} · \left[ \prod\limits_{i=1}^{m}(2·i) \right]^{-1} < \left[ \prod\limits_{i=1}^{m-1}(2·i) \right]^{+1} · \left[ \prod\limits_{i=1}^{m-1}(2·i+1) \right]^{-1}$ | ||
| $⇓$ | $J_{m} = \dfrac{1}{2·m+1} · \left[ \prod\limits_{i=1}^{m} (2·i) \right]^{+2} · \left[ \prod\limits_{i=1}^{m} (2·i-1) \right]^{-2} < \dfrac{π}{2} < \dfrac{1}{2·m} · \left[ \prod\limits_{i=1}^{m} (2·i) \right]^{+2} · \left[ \prod\limits_{i=1}^{m} (2·i-1) \right]^{-2} = K_{m}$ | ||
| $⇓$ | $K_{m} - J_{m} = \dfrac{1}{(2·m)·(2·m+1)} · \left[ \prod\limits_{i=1}^{m} (2·i) \right]^{+2} · \left[ \prod\limits_{i=1}^{m} (2·i-1) \right]^{-2} < \dfrac{1}{2·m} · \dfrac{π}{2} \mathop{⇝}\limits_{m⇝∞^{+} } 0$ | ||
| $⇓$ | $π = \lim\limits_{m⇝∞^{+} } (2 · K_{m}) = \lim\limits_{m⇝∞^{+} } \dfrac{1}{m} · \left[ \prod\limits_{i=1}^{m} (2·i) \right]^{+2} · \left[ \prod\limits_{i=1}^{m} (2·i-1) \right]^{-2}$ |
| $⇓$ | $\int\limits \dfrac{1 - r^2}{1 - 2 · r · \cos x + r^2} \mathrm{d} x \mathop{=======}\limits_{\cos x = \frac{1 - \tan^2 \frac{x}{2} }{1 + \tan^2 \frac{x}{2} } }^{t = \tan \frac{x}{2} } \int\limits \dfrac{1 - r^2}{1 - 2 · r · \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2} + r^2} \dfrac{2 · \mathrm{d} t}{1 + t^2} = \int\limits \dfrac{2 · (1 - r^2)}{(1 - r)^2 + (1 + r)^2 · t^2} \mathrm{d} t = 2 · \tan^{-1} \left( \dfrac{1 + r}{1 - r} · t \right) = 2 · \tan^{-1} \left( \dfrac{1 + r}{1 - r} · \tan \dfrac{x}{2} \right)$ |
|---|---|
| $⇓$ | $\int\limits_{-π}^{+π} \dfrac{1 - r^2}{1 - 2 · r · \cos x + r^2} \mathrm{d} x = \left[ 2 · \tan^{-1} \left( \dfrac{1 + r}{1 - r} · \tan \dfrac{x}{2} \right) \right]_{-π}^{+π} = 2 · π$ |
调和积分
$\int\limits_{0}^{1} \dfrac{1}{x^a} · \mathrm{d} x = \mathop{\dfrac{1}{1 - a} }\limits_{0<a<1}; \mathop{∞⁺}\limits_{1≤a<∞⁺}$
$\int\limits_{1}^{∞⁺} \dfrac{1}{x^a} · \mathrm{d} x = \mathop{∞⁺}\limits_{0<a≤1}; \mathop{\dfrac{1}{a - 1} }\limits_{1<a<∞⁺}$
$\int\limits_{1}^{ә} \dfrac{1}{x · \ln^b x} · \mathrm{d} x = \mathop{\dfrac{1}{1 - b} }\limits_{0<b<1}; \mathop{∞⁺}\limits_{1≤b<∞⁺}$
$\int\limits_{ә}^{∞⁺} \dfrac{1}{x · \ln^b x} · \mathrm{d} x = \mathop{∞⁺}\limits_{0<b≤1}; \mathop{\dfrac{1}{b - 1} }\limits_{1<b<∞⁺}$
| $⇓$ | $\int\limits_{x_α}^{x_β} \dfrac{1}{x^a} · \mathrm{d}x \mathop{==}\limits^{a≠1} \left. \dfrac{x^{1-a} }{1-a} \right | _{x_α}^{x_β} = \dfrac{x_β^{1-a} - x_α^{1-a} }{1-a}$ | $\int\limits_{x_α}^{x_β} \dfrac{1}{x^1} \mathrm{d} x \mathop{==}\limits^{a=1} \ln x | _{x_α}^{x_β} = \ln \dfrac{x_β}{x_α}$ | ||
|---|---|---|---|---|---|---|
| $⇓$ | $\int\limits_{0}^{1} \dfrac{1}{x^a} · \mathrm{d}x \mathop{==}\limits^{a≠1} \mathop{\dfrac{1}{1-a} }\limits_{0<a<1};\mathop{∞^{+} }\limits_{1<a<∞^{+} }$ | $\int\limits_{0}^{1} \dfrac{1}{x^{1} } · \mathrm{d}x \mathop{==}\limits^{a=1} ∞^{+}$ | $⇒$ | $\int\limits_{0}^{1} \dfrac{1}{x^a} · \mathrm{d} x = \mathop{\dfrac{1}{1 - a} }\limits_{0<a<1}; \mathop{∞⁺}\limits_{1≤a<∞⁺}$ | ||
| $⇓$ | $\int\limits_{1}^{∞^{+} } \dfrac{1}{x^{a} } · \mathrm{d}x \mathop{==}\limits^{a≠1} \mathop{∞^{+} }\limits_{0<a<1};\mathop{\dfrac{1}{a - 1} }\limits_{1<a<∞^{+} }$ | $\int\limits_{1}^{∞⁺} \dfrac{1}{x^1} · \mathrm{d} x \mathop{==}\limits^{a=1} ∞⁺$ | $⇒$ | $\int\limits_{1}^{∞⁺} \dfrac{1}{x^a} · \mathrm{d} x = \mathop{∞⁺}\limits_{0<α≤1}; \mathop{\dfrac{1}{a - 1} }\limits_{1<a<∞⁺}$ | ||
| $⇒$ | $\int\limits_{0}^{∞⁺} \dfrac{1}{x^a} · \mathrm{d} x = ∞⁺$ | |||||
| $⇓$ | $\int\limits_{x_α}^{x_β} \dfrac{1}{x·\ln^{b}x} · \mathrm{d}x \mathop{===}\limits^{t=\ln x} \int\limits_{\ln x_α}^{\ln x_β} \dfrac{1}{t^{b} } · \mathrm{d}t \mathop{==}\limits^{b≠1} \left[ \dfrac{t^{1-b} }{1-b} \right]_{\ln x_α}^{\ln x_β} = \dfrac{\ln^{1-b} x_β - \ln^{1-b} x_α}{1 - b}$ | $⇒$ | $\int\limits_{1}^{ә} \dfrac{1}{x · \ln^b x} · \mathrm{d} x = \mathop{\dfrac{1}{1 - b} }\limits_{0<b<1}; \mathop{∞⁺}\limits_{1≤b<∞⁺}$ | |||
| $⇓$ | $\int\limits_{x_α}^{x_β} \dfrac{1}{x·\ln^{1} x} · \mathrm{d}x \mathop{===}\limits^{t=\ln x} \int\limits_{\ln x_α}^{\ln x_β} \dfrac{1}{t^1} · \mathrm{d}t \mathop{==}\limits^{b=1} [\ln t]_{\ln x_α}^{\ln x_β} = \ln \dfrac{\ln x_β}{\ln x_α}$ | $⇒$ | $\int\limits_{ә}^{∞⁺} \dfrac{1}{x · \ln^b x} · \mathrm{d} x = \mathop{∞⁺}\limits_{0<b≤1}; \mathop{\dfrac{1}{b - 1} }\limits_{1<b<∞⁺}$ | |||
| $⇓$ | $⇒$ | $\int\limits_{1}^{∞⁺} \dfrac{1}{x · \ln^b x} · \mathrm{d} x = ∞⁺$ |