广义积分
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广义积分
若函数$f(x)$在区间$[x_l,x_u]$上的定积分存在，但其积分界限端点$x_u$趋于无穷大，则称$\int\limits_{x_l}^{∞^{+} } f(x) · \mathrm{d} x ≡ \lim\limits_{x_u⇝∞^{+} } \int\limits_{x_l}^{x_u} f(x) · \mathrm{d}x$为无穷限积分。
$\int\limits_{-∞}^{+∞} f(x) · \mathrm{d}x = \lim\limits_{x_l⇝∞^{-} } \int\limits_{x_l}^{x_θ} f(x) · \mathrm{d}x + \lim\limits_{x_u⇝∞^{+} } \int\limits_{x_θ}^{x_u} f(x) · \mathrm{d}x = \lim\limits_{x_l⇝∞^{-} } \left[ F(x_θ) - F(x_l) \right] + \lim\limits_{x_u⇝∞^{+} } [F(x_u) - F(x_θ)] = [F(x_θ) - F(∞^{-})] + [F(∞^{+}) - F(x_θ)]$
若函数$f(x)$在区间$[x_l,x_u]$上的定积分存在，但其函数值在端点$x_l$处趋于无穷大，则称$\int\limits_{x_l}^{x_u} f(x) · \mathrm{d} x ≡ \lim\limits_{x_t⇝x_l} \int\limits_{x_t}^{x_u} f(x)· \mathrm{d}x$为无穷界积分。
$\int\limits_{x_l}^{x_u} f(x) · \mathrm{d} x = \lim\limits_{x_t⇝x_l^{+} } \int\limits_{x_t}^{x_θ} f(x) · \mathrm{d}x + \lim\limits_{x_t⇝x_u^-} \int\limits_{x_θ}^{x_t} f(x) · \mathrm{d} x = \lim\limits_{x_t⇝x_l^+} [F(x_θ) - F(x_t)] + \lim\limits_{x_t⇝x_u^-} [F(x_t) - F(x_θ)] = [F(x_θ) - F(x_l^+)] + [F(x_u^-) - F(x_θ)]$
与常义积分相对应，无穷限积分与无穷界积分统称为广义积分。若函数$f(x)$的广义积分存在，则同样也适用于微积分基本定理。
任意常义积分均可通过换元法变换成无穷限积分。
$\int\limits_{x_α}^{x_β} f(x) · \mathrm{d} x \mathop{====}\limits^{t=\frac{1}{x-x_α} } \int\limits_{\frac{1}{x_β-x_α} }^{∞^{+} } f \left( x_α + \dfrac{1}{t} \right) · \dfrac{1}{t^2} · \mathrm{d} t$
$\int\limits_{x_α}^{x_β} f(x) · \mathrm{d} x \mathop{====}\limits^{t=\frac{x_β-x_α}{x-x_α} } \int\limits_{1}^{∞^{+} } f \left( x_α+\dfrac{x_β-x_α}{t} \right) · \dfrac{1}{t^2} · \mathrm{d} t$
无穷限积分
无穷限积分收敛的柯西审敛法。
| $\left[ \int\limits_{x_α}^{∞^{+} } f(x) · \mathrm{d}x = I_{f} \right] ⇔ \left[ ∀ε>0;∃x_N;∀x_l,x_u≥x_N; \left | \int\limits_{x_α}^{x_u} f(x) · \mathrm{d} x - \int\limits_{x_α}^{x_l} f(x) · \mathrm{d} x \right | = \left | \int\limits_{x_l}^{x_u} f(x) · \mathrm{d} x \right | ≤ ε \right]$ |
若无穷限积分绝对收敛，则必条件收敛，反之不对。
| $\left[ \int\limits_{x_{α} }^{∞^{+} } | f(x) | · \mathrm{d} x = I_{ | f | } \right] ⇒ \left[ \int\limits_{x_α}^{∞^{+} } f(x) · \mathrm{d} x = I_{f} \right]$ |
| $⇓$ | $\left | \int\limits_{x_α}^{∞^{+} } f(x) · \mathrm{d}x \right | ≤ \int\limits_{x_α}^{∞^{+} } | f(x) | · \mathrm{d} x$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $⇓$ | $∀ε>0;∃x_N;∀x_u,x_v≥x_N; \left | \int\limits_{x_v}^{x_u} f(x) · \mathrm{d} x \right | ≤ \int\limits_{x_v}^{x_u} | f(x) | · \mathrm{d} x ≤ ε$ |
| $⇓$ | $\left[ \int\limits_{x_{α} }^{∞^{+} } | f(x) | · \mathrm{d} x = I_{ | f | } \right] ⇒ \left[ \int\limits_{x_α}^{∞^{+} } f(x) · \mathrm{d} x = I_{f} \right]$ |
无穷限积分的比较审敛法。
| $⇓$ | $∀ε>0;∃x_N;∀x>x_N; | f(x) | ≤ g(x)$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $⇓$ | $\left[ \int\limits_{x_α}^{∞^{+} } f(x) · \mathrm{d}x = I_{f} \right] ⇐ \left[ \int\limits_{x_α}^{∞^{+} } | f(x) | · \mathrm{d}x = I_{ | f | } \right] ⇐ \left[ \int\limits_{x_α}^{∞^{+} } g(x) · \mathrm{d} x = I_{g} \right]$ |
| $⇓$ | $\left[ \int\limits_{x_α}^{∞^{+} } f(x) · \mathrm{d}x \not= I_{f} \right] ⇒ \left[ \int\limits_{x_α}^{∞^{+} } | f(x) | · \mathrm{d}x \not= I_{ | f | } \right] ⇒ \left[ \int\limits_{x_α}^{∞^{+} } g(x) · \mathrm{d} x \not= I_{g} \right]$ |
无穷限积分的比较审敛法极限形式。
| $⇓$ | $\lim\limits_{x⇝∞^{+} } \dfrac{ | f(x) | }{g(x)} ⇝ q$ | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $⇓$ | $\left[ \int\limits_{x_α}^{∞^{+} } | f(x) | · \mathrm{d}x = I_{ | f | } \right] \mathop{⇔}\limits^{q≠0} \left[ \int\limits_{x_α}^{∞^{+} } g(x) · \mathrm{d}x = I_{g} \right]$ | $⇐$ | $∀ε>0;∃x_N;∀x>x_N; (q-ε)·g(x) ≤ | f(x) | ≤ (q+ε) · g(x)$ |
| $⇓$ | $\left[ \int\limits_{x_α}^{∞^{+} } | f(x) | · \mathrm{d}x = I_{ | f | } \right] \mathop{⇔}\limits^{q=0^+} \left[ \int\limits_{x_α}^{∞^{+} } g(x) · \mathrm{d}x = I_{g} \right]$ | $⇐$ | $∀ε>0;∃x_N;∀x>x_N; | f(x) | ≤ g(x)$ |
| $⇓$ | $\left[ \int\limits_{x_α}^{∞^{+} } | f(x) | · \mathrm{d}x = I_{ | f | } \right] \mathop{⇔}\limits^{q=∞^+} \left[ \int\limits_{x_α}^{∞^{+} } g(x) · \mathrm{d}x = I_{g} \right]$ | $⇐$ | $∀ε>0;∃x_N;∀x>x_N; g(x) ≤ | f(x) | $ |
无穷限积分的比值审敛法。
| $\int\limits_{1}^{∞^{+} } \dfrac{1}{x^{a} } · \mathrm{d} x = \mathop{∞^{+} }\limits_{0<a≤1};\mathop{\dfrac{1}{a-1} }\limits_{1<a<∞^{+} }$ | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\left[ 1 < a \right] ∧ \left[ | f(x) | ≤ \dfrac{1}{x^a} \right]$ | $⇒$ | $\int\limits_{x_α}^{∞^{+} } | f(x) | · \mathrm{d} x = I_{ | f | }$ |
| $[a ≤ 1] ∧ \left[ | f(x) | ≥ \dfrac{1}{x^a} \right]$ | $⇒$ | $\int\limits_{x_α}^{∞^{+} } | f(x) | · \mathrm{d} x = ∞^{+}$ |
无穷限积分的比值审敛法极限形式。
| $\left[ \lim\limits_{x⇝∞^+} \dfrac{ | f(x) | }{\dfrac{1}{x^a} } ⇝ q > 0 \right] ⇒ \left[ \lim\limits_{x⇝∞^{+} } | f(x) | = \lim\limits_{x⇝∞^{+} } \dfrac{q}{x^a} \right]$ | $\int\limits_{1}^{∞} \dfrac{1}{x^{a} } · \mathrm{d} x = \mathop{∞^{+} }\limits_{0<a≤1};\mathop{\dfrac{1}{a-1} }\limits_{1<a<∞^{+} }$ | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $[1 < a] ∧ [0≤q<∞^{+}]$ | $⇒$ | $\int\limits_{x_α}^{∞^{+} } | f(x) | · \mathrm{d} x = I_{ | f | }$ |
| $[a≤1] ∧ [0<q≤∞^{+}]$ | $⇒$ | $\int\limits_{x_α}^{∞^{+} } | f(x) | · \mathrm{d} x = ∞^{+}$ |
典例：无穷限积分$\int\limits_{1}^{∞^+} x^{a} · ә^{-x} · \mathrm{d}x$收敛，其中$a=2$以及$q = 0$。
$\lim\limits_{x⇝∞^{+} } \dfrac{x^a · ә^{-x} }{\dfrac{1}{x^2} } = \lim\limits_{x⇝∞^{+} } \dfrac{x^{a+2} }{ә^x} ⇝ 0$
无穷限积分的分部审敛法。
| 若函数$g(x)$与函数$f(x)$均连续，且$ | g^{⤨}(x) | ≤ \mathrm{Sup}$，以及$\int\limits_{x_α}^{∞^{+} } f(x) · \mathrm{d}x = I_{f}$，则无穷限积分$\int\limits_{x_α}^{∞^+} g(x) · f(x) · \mathrm{d}x = I_{gf}$收敛。 |
| 若函数$g(x)$与函数$f(x)$均连续，且$\lim\limits_{x⇝∞} g^{⤨}(x) ⇝ 0$，以及$\left | \int\limits_{x_α}^{x} f(x) · \mathrm{d} x \right | ≤ \mathrm{Sup}$，则无穷限积分$\int\limits_{x_α}^{∞^+} g(x) · f(x) · \mathrm{d}x = I_{gf}$收敛。 |
| $∀ε>0;∃x_N;∀x_l,x_u≥x_N;$ | |||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $⇓$ | $\left | \int\limits_{x_l}^{x_u} f (x) · g^{⤨} (x) \mathrm{d} x \right | = \left | g^{⤨} (x_l) · \int\limits_{x_l}^{θ} f (x) \mathrm{d} x + g^{⤨} (x_u) · \int\limits_{θ}^{x_u} f (x) \mathrm{d} x \right | ≤ \left | g^{⤨}(x_l) \right | · \left | \int\limits_{x_l}^{θ} f(x) · \mathrm{d}x \right | + \left | g^{⤨}(x_u) \right | · \left | \int\limits_{θ}^{x_u} f(x) · \mathrm{d}x \right | $ | ||
| $⇓$ | $\left | \int\limits_{x_l}^{x_u} f (x) · g^{⤨} (x) \mathrm{d} x \right | ≤ \mathrm{Sup} · ε_1 + \mathrm{Sup} · ε_2 = ε$ | $⇐$ | $ | g^{⤨}(x) ≤ \mathrm{Sup} | ∧ \left[ \int\limits_{x_α}^{∞^{+} } f(x) · \mathrm{d}x = I_{f} \right]$ | ||||||||
| $⇓$ | $\left | \int\limits_{x_l}^{x_u} f (x) · g^{⤨} (x) \mathrm{d} x \right | = \left | g^{⤨}(x_l) \right | · \left | \int\limits_{x_α}^{θ} f(x) · \mathrm{d}x - \int\limits_{x_α}^{x_l} f(x)·\mathrm{d}x \right | + | g^{⤨}(x_u) | · \left | \int\limits_{x_α}^{x_u} f(x) · \mathrm{d}x - \int\limits_{x_α}^{θ} f(x) · \mathrm{d}x \right | $ | ||||
| $⇓$ | $\left | \int\limits_{x_l}^{x_u} f (x) · g^{⤨} (x) \mathrm{d} x \right | ≤ ε_1·2·\mathrm{Sup} + ε_2·2·\mathrm{Sup} = ε$ | $⇐$ | $\left[ \lim\limits_{x⇝∞} g^{⤨}(x) ⇝ 0 \right] ∧ \left[ \left | \int\limits_{x_α}^{x} f(x) · \mathrm{d} x \right | ≤ \mathrm{Sup} \right]$ |
典例：根据分部审敛法，考察无穷限积分$\int\limits_{1}^{∞^{+} } \dfrac{\sin x}{x^{a} } · \mathrm{d} x$的敛散性。
| $a>1$ | $\left | \dfrac{\sin x}{x^a} \right | ≤ \dfrac{1}{x^a}$ | $⇒$ | $\int\limits_{1}^{∞^{+} } \dfrac{\sin x}{x^a} · \mathrm{d} x ⇝ I$ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $0<a≤1$ | $\left[ \lim\limits_{x⇝∞^{+} } \dfrac{1}{x^{a} } ⇝ 0 \right] ∧ \left[ \left | \int\limits_{1}^{x} \sin x · \mathrm{d} x \right | = | -\cos x + \cos 1 | ≤ 2 \right]$ | $⇒$ | $\int\limits_{1}^{∞^{+} } \dfrac{\sin x}{x^a} · \mathrm{d} x ⇝ I$ | ||
| $0<a≤1$ | $\left[ \left | \dfrac{\sin x}{x^a} \right | ≥ \dfrac{\sin^2 x}{x} = \dfrac{1 - \cos 2 · x}{2·x} = \dfrac{1}{2·x} - \dfrac{\cos 2 · x}{2·x} \right] ∧ \left[ \int\limits_{1}^{∞^{+} } \dfrac{1}{x} · \mathrm{d} x = \ln x | _{1}^{∞^{+} } = ∞^{+} \right]$ | $⇒$ | $\int\limits_{1}^{∞^{+} } \left | \dfrac{\sin x}{x^a} \right | · \mathrm{d} x \not⇝ I$ | |
| $a≤0$ | $\left | \int\limits_{2·n·π}^{2·n·π+π} \dfrac{\sin x}{x^a} · \mathrm{d}x \right | ≥ \left | \int\limits_{2·n·π}^{2·n·π+π} \sin x · \mathrm{d}x \right | = \left | \int\limits_{0}^{π} \sin x · \mathrm{d}x \right | = 2 > ε$ | $⇒$ | $\int\limits_{1}^{∞^{+} } \dfrac{\sin x}{x^a} · \mathrm{d} x \not⇝ I$ |
若无穷限积分$\int\limits_{x_α}^{∞^{+} } f(x) · \mathrm{d}x ⇝ I$，且$f(x) ≥ 0$，但未必有$\lim\limits_{x⇝∞^{+} } f(x) ⇝ 0$。
反例：脉冲函数$\mathcal{P}(x) = \mathop{0}\limits_{};\mathop{+n^2·2^{n} · \left[ x - \left( n-\dfrac{1}{2^n · n} \right) \right]}\limits_{x∈\left[n-\frac{1}{2^{n}·n},n\right]};\mathop{-n^2·2^{n} · \left[ x - \left( n+\dfrac{1}{2^{n}·n} \right) \right]}\limits_{x∈\left[n,n+\frac{1}{2^{n}·n}\right]};0$
脉冲函数$\mathcal{P}(x)$的无穷限积分$\int\limits_{0}^{∞^{+} } \mathcal{P}(x) · \mathrm{d}x = \sum\limits_{i=1}^{∞} \dfrac{1}{2^i} = 1$收敛，且$\mathcal{P}(x) ≥ 0$，但$\lim\limits_{x⇝∞^{+} } \mathcal{P}(x) \not⇝ 0$。
无穷界积分
无穷界积分的柯西审敛法。
| $\left[ \int\limits_{\phi}^{x_β} f(x) · \mathrm{d}x ⇝ I_{f} \right] ⇔ \left[ ∀ε>0;∃δ>0;∀x_l,x_u∈\mathrm{B}(\phi,δ); \left | \int\limits_{x_α}^{x_u} f(x) · \mathrm{d} x - \int\limits_{x_α}^{x_l} f(x) · \mathrm{d} x \right | = \left | \int\limits_{x_l}^{x_u} f(x) · \mathrm{d} x \right | < ε \right]$ |
若无穷界积分绝对收敛，则必条件收敛，反之不对。
| $\left[ \int\limits_{\phi}^{x_β} | f(x) | · \mathrm{d} x = I_{ | f | } \right] ⇒ \left[ \int\limits_{\phi}^{x_β} f(x) · \mathrm{d} x = I_{f} \right]$ |
| $⇓$ | $\left | \int\limits_{\phi}^{x_β} f(x) · \mathrm{d}x \right | ≤ \int\limits_{\phi}^{x_β} | f(x) | · \mathrm{d} x$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $⇓$ | $∀ε>0;∃δ>0;∀x_l,x_u∈\mathrm{B}(\phi,δ); \left | \int\limits_{x_l}^{x_u} f(x) · \mathrm{d} x \right | ≤ \int\limits_{x_l}^{x_u} | f(x) | · \mathrm{d} x ≤ ε$ |
| $⇓$ | $\left[ \int\limits_{\phi}^{x_β} | f(x) | · \mathrm{d} x = I_{ | f | } \right] ⇒ \left[ \int\limits_{\phi}^{x_β} f(x) · \mathrm{d} x = I_{f} \right]$ |
无穷界积分的比较审敛法。
| $⇓$ | $∀ε>0;∃δ>0;∀x∈\mathrm{B}(\phi,δ); | f(x) | ≤ g(x)$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $⇓$ | $\left[ \int\limits_{\phi}^{x_β} f(x) · \mathrm{d}x = I_{f} \right] ⇐ \left[ \int\limits_{\phi}^{x_β} | f(x) | · \mathrm{d}x = I_{ | f | } \right] ⇐ \left[ \int\limits_{\phi}^{x_β} g(x) · \mathrm{d} x = I_{g} \right]$ |
| $⇓$ | $\left[ \int\limits_{\phi}^{x_β} f(x) · \mathrm{d}x \not= I_{f} \right] ⇒ \left[ \int\limits_{\phi}^{x_β} | f(x) | · \mathrm{d}x \not= I_{ | f | } \right] ⇒ \left[ \int\limits_{\phi}^{x_β} g(x) · \mathrm{d} x \not= I_{g} \right]$ |
无穷界积分的比较审敛法极限形式。
| $⇓$ | $\lim\limits_{x⇝∞^{+} } \dfrac{ | f(x) | }{g(x)} ⇝ q$ | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $⇓$ | $\left[ \int\limits_{\phi}^{x_β} | f(x) | · \mathrm{d}x = I_{ | f | } \right] \mathop{⇔}\limits^{q≠0} \left[ \int\limits_{\phi}^{x_β} g(x) · \mathrm{d}x = I_{g} \right]$ | $⇐$ | $∀ε>0;∃δ>0;∀x∈\mathrm{B}(\phi,δ); (q-ε)·g(x) ≤ | f(x) | ≤ (q+ε) · g(x)$ |
| $⇓$ | $\left[ \int\limits_{\phi}^{x_β} | f(x) | · \mathrm{d} x = I_{ | f | } \right] \mathop{⇐}\limits^{q=0^+} \left[ \int\limits_{\phi}^{x_β} g(x) · \mathrm{d}x = I_g \right]$ | $⇐$ | $∀ε>0;∃δ>0;∀x∈\mathrm{B}(\phi,δ); | f(x) | ≤ g(x)$ |
| $⇓$ | $\left[ \int\limits_{\phi}^{x_β} | f(x) | · \mathrm{d}x \not= I_{ | f | } \right] \mathop{⇐}\limits^{q=∞^{+} } \left[ \int\limits_{\phi}^{x_β} g(x) · \mathrm{d} x \not= I_{g} \right]$ | $⇐$ | $∀ε>0;∃δ>0;∀x∈\mathrm{B}(\phi,δ); g(x) ≤ | f(x) | $ |
无穷界积分的比值审敛法。
| $\int\limits_{0}^{1} \dfrac{1}{x^a} · \mathrm{d} x = \mathop{\dfrac{1}{1 - a} }\limits_{0<a<1}; \mathop{∞⁺}\limits_{1≤a<∞⁺}$ | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\left[ a < 1 \right] ∧ \left[ | f(x) | ≤ \dfrac{1}{(x - \phi)^a} \right]$ | $⇒$ | $\int\limits_{\phi}^{x_β} | f(x) | · \mathrm{d} x = I_{ | f | }$ |
| $[1 ≤ a] ∧ \left[ | f(x) | ≥ \dfrac{1}{(x - \phi)^a} \right]$ | $⇒$ | $\int\limits_{\phi}^{x_β} | f(x) | · \mathrm{d} x = ∞^{+}$ |
无穷界积分的比值审敛法极限形式。
| $\left[ \lim\limits_{x⇝\phi^{+} } \dfrac{ | f(x) | }{\dfrac{1}{(x-\phi)^a} } ⇝ q > 0 \right] ⇒ \left[ \lim\limits_{x⇝\phi^{+} } | f(x) | = \lim\limits_{x⇝\phi^{+} } \dfrac{q}{(x - \phi)^{a} } \right]$ | $\int\limits_{0}^{1} \dfrac{1}{x^a} · \mathrm{d} x = \mathop{\dfrac{1}{1 - a} }\limits_{0<a<1};\mathop{∞^{+} }\limits_{1≤a<∞^{+} }$ | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $[a < 1] ∧ [0≤q<∞^{+}]$ | $⇒$ | $\int\limits_{x_α}^{∞^{+} } | f(x) | · \mathrm{d} x = I_{ | f | }$ |
| $[1 ≤ a] ∧ [0<q≤∞^{+}]$ | $⇒$ | $\int\limits_{x_α}^{∞^{+} } | f(x) | · \mathrm{d} x = ∞^{+}$ |
典例：考察广义积分$\int\limits_{0}^{∞^+} \dfrac{\ln(1+x)}{x^p} · \mathrm{d} x = \int\limits_{0}^{1} \dfrac{\ln (1 + x)}{x^p} · \mathrm{d}x + \int\limits_{1}^{∞^{+} } \dfrac{\ln(1+x)}{x^p} · \mathrm{d} x$的敛散性，其在点$0^{+}$处为无穷界积分，在点$∞^{+}$为无穷限积分。
广义积分$\int\limits_{0}^{∞^+} \dfrac{\ln(1+x)}{x^p} · \mathrm{d} x$，在$1<p<2$时收敛，否则发散。
| $\lim\limits_{x⇝0^{+} } f(x) = \lim\limits_{x⇝0^{+} } \dfrac{\ln (1 + x)}{x^p} = \lim\limits_{x⇝0^{+} } \dfrac{1}{(1+x)·p·x^{p-1} } = \lim\limits_{x⇝0^{+} } \dfrac{1}{p·x^{p-1} } ≤ \rlap{≡≡≡≡≡≡}\left[ \lim\limits_{x⇝0^+} \dfrac{q}{x^a} \right]$ | $[p-1<1] ⇒ [p<2]$ | $⇒$ | $\int\limits_{0}^{1} f(x) · \mathrm{d} x = I_0^+$ |
|---|---|---|---|
| $\lim\limits_{x⇝∞^{+} } f(x) = \lim\limits_{x⇝∞^{+} } \dfrac{\ln (1 + x)}{x^p} = \lim\limits_{x⇝∞^{+} } \dfrac{1}{(1 + x) · p · x^{p-1} } = \lim\limits_{x⇝∞^{+} } \dfrac{1}{p·x^{p} } ≤ \rlap{≡≡≡≡≡≡≡}\left[ \lim\limits_{x⇝∞^+} \dfrac{q}{x^a} \right] $ | $[p>1]$ | $⇒$ | $\int\limits_{1}^{∞^{+} } f(x) · \mathrm{d} x = I_{∞^+}$ |