线性代数

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特别注意

本书中矩阵的定义与教科书不同。
本书中矩阵以左下右上为对角线。
本书中对矩阵的反置为Reverse，而非转置Transpose，其符号为'A而非Aᵀ。
本书中对矩阵的倒逆为Inverse，其符号为ᶥA而非A⁻¹。
本书中坐标系均为右手旋坐标系。
本书中共有2种加运算5种乘运算。
本书中矩阵的行列式为Determinant，其符号为║A║。
本书中矩阵的度量值为Measurement，其符号为│A│。
度量值Measurement是拓扑值Topologee的二次方情形。约定Topologee表示拓扑距或者拓扑值。
本书中向量由标量与矢量共同构成，向量的第0位表示其标量分量，矢量的第0位表示其ηₓ分量。约定向量的英文单词为Vector，矢量的英文单词为vector。
本书中基向量的符号为𝛈，基矢量的符号为ῆ，基矢量下标移位1为其对应的基向量下标，𝛈₁≡ῆ₀。
约定向量的书写体为粗体无箭头𝐯，矢量的书写体为细体有箭头ṽ。约定矩阵的书写体为大写英文字母，向量的书写体为小写英文字母。
本书中向量与矢量最明显的不同之处在于，向量未定义叉乘运算，矢量有定义叉乘运算，向量与矢量的其它常规的运算性质基本相通。
本书中认为3维矢量内嵌于4维向量，因此3维矢量空间内嵌于4维向量空间，且第0维向量较特殊。

$n$元$m$量线性代数方程组的最典型定义。 \(\left[\begin{matrix} y_1 \\ y_2 \\ ⋮ \\ y_m \\ \end{matrix}\right] = \mathop{\left[\begin{matrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ⋯ & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & ⋯ & a_{2,n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m,1} & a_{m,2} & ⋯ & a_{m,n} \end{matrix}\right]}\limits_{m×n} \rlap{×}{+} \left[\begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ ⋮ \\ x_n \\ \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} a_{1,1} · x_1 + a_{1,2} · x_2 + ⋯ + a_{1,n} · x_n \\ a_{2,1} · x_1 + a_{2,2} · x_2 + ⋯ + a_{2,n} · x_n \\ ⋮ \\ a_{m,1} · x_1 + a_{m,2} · x_2 + ⋯ + a_{m,n} · x_n \\ \end{matrix}\right]\)

$(1 + n)$元$(1 + m)$量线性代数方程组的现定义。

矩阵的坐标

矩阵的坐标遵循的原则：行优先于列，行数向上递增，列数向右递增。从左往右，从下往上。

$(1+m)×(1+n)$元矩阵的坐标，行数为$1+m$，列数为$1+n$。

$(1+n)×(1+n)$元方矩阵的单位方矩阵，对角线为左下右上。

矩阵的运算

矩阵的运算遵循的原则：行优先于列，单行从左往右，单列从下往上。向左复合，向右运算。

矩阵$\mathcal{F}[(1+m)×(1+n)]$的反置矩阵为${‘}\mathcal{F}[(1+m)×(1+n)] ≡ \mathrm{rev} \mathcal{F}[(1+m)×(1+n)]$。

$\mathcal{H}[(1+n)×(1+m)] = {‘}\mathcal{F}[(1+m)×(1+n)]$。

矩阵$\mathcal{G}[(1+m)×(1+n)]$与矩阵$\mathcal{F}[(1+m)×(1+n)]$的位加运算。

$\mathcal{H}[(1+m)×(1+n)] = \mathcal{G}[(1+m)×(1+n)] + \mathcal{F}[(1+m)×(1+n)]$。

矩阵$\mathcal{G}[(l+1)×(1+m)]$与矩阵$\mathcal{F}[(1+m)×(1+n)]$的合乘运算。

$\mathcal{H}[(l+1)×(1+n)] = \mathcal{G}[(l+1)×(1+m)] \rlap{×}{+} \mathcal{F}[(1+m)×(1+n)]$

二元关系$\mathcal{G}[Z×Y]$与二元关系$\mathcal{F}[Y×X]$的复合关系$\mathcal{H}[Z×X]$。

$\mathcal{H}[Z×X] = \mathcal{G}[Z×Y] ∘ \mathcal{F}[Y×X]$

多项式分解

线性代数方程组

$(1 + n)$元$(1 + m)$量线性代数方程组，其系数矩阵记作$A_{(1+m)×(1+n)}$，其增广矩阵记作$\tilde{A}_{(1+m)×(2+n)}$。当$\bold{b} ≡ \bold{0}$时为齐次线性代数方程组，当$\bold{b} ≠ \bold{0}$时为非齐次线性方程组。

注意：线性代数方程组未必有解，零解$\bold{x} = \left[\begin{matrix} 0 \ ⋮ \ 0 \ \end{matrix}\right]$必定是齐次线性方程组的解，并且必定不是非齐次线性方程组的解。

$(1 + n)$元$(1 + m)$量线性代数方程组的线性组合。注意：$κ = 0$并非特殊情形，$(1 + n)$元$(1 + m)$量线性代数方程组的解必定是其线性组合的解，反之不对。

线性代数方程组的同解变形。若$(1 + n)$元$(1 + r)$量线性代数方程组中的每个方程，全都是$(1 + n)$元$(1 + m)$量线性代数方程组的线性组合，并且反之亦然。

注意：线性代数方程组的同解变形满足加运算与乘运算封闭性，因此线性代数方程组的解对于其系数所在的数域封闭。

线性代数方程组同解变形的初等行变换，共计4个。注意：原方程组与现方程组中方程的个数未必相同。
[规整阶梯形] 对于线性代数方程组，交换任意两个方程的位置，其余方程不变，方程的个数不变。〈j〉⇆〈i〉
[系数化为一] 对于线性代数方程组，将非零常数乘以任一方程，其余方程不变，方程的个数不变。〈i〉·κ
[消去相同元] 对于线性代数方程组，将任一方程加到另一方程，其余方程不变，方程的个数不变。〈j〉⩲〈i〉·κ
[消去恒等式] 对于线性代数方程组，将所有恒等式方程都剔除，其余方程不变，方程的个数改变。
线性代数方程组同解变形的初等列变换，共计1个。
[规整对角形] 对于线性代数方程组，交换任意两个变元的位置，其余变元不变，方程的个数不变。

线性代数方程组经过初等行变换的同解变形，最终形成阶梯形矩阵，然后经过初等列变换的同解变形，最终形成对角形矩阵。

非齐次线性代数方程组解的结构，共计3种。
[不存在解] 若βᵣ₊₁ ≠ 0，则线性代数方程组无解。
[有唯一解] 若βᵣ₊₁ = 0，且r = n，则线性代数方程组有唯一解。
[有无数解] 若βᵣ₊₁ = 0，且r < n，则线性代数方程组有无数解，且通解中有(1 + n) - (1 + r)个自由变元。
齐次线性代数方程组解的结构，共计1种。
[有无数解] 若m < n，则r(≤m)< n，且线性代数方程组有无数解。

若线性代数方程组中有某个方程是其余方程的线性组合，则该线性代数方程组满足线性相关性，否则该线性代数方程组满足线性无关性。注意：方程的变元变量即为向量的分量。

若线性代数方程组的反置齐次线性代数方程组有非零解，则该线性代数方程组满足线性相关性，否则该线性代数方程组满足线性无关性。注意：方程组的反置即为向量组的反置。

注意：含零向量方程的线性代数方程组必满足线性相关性，若线性代数方程组仅含有一个非零向量方程，则该线性代数方程组满足线性无关性。约定：空向量集满足线性无关性。

推论：线性代数方程组满足线性相关性，当且仅当其子集线性代数方程组满足线性相关性，当且仅当有某个方程是其前面所有方程的线性组合。

在线性代数方程组中添加任意数量的分量，新线性代数方程组的反置齐次线性代数方程组的解，必定是原线性代数方程组的反置齐次线性代数方程组的解，反之不对。

推论：若线性代数方程组满足线性无关性，则该线性代数方程组仅有非零解，因此在该线性代数方程组中添加任意数量的分量，新线性代数方程组必满足线性无关性。

若$m > n$，则$(1 + n)$元$(1 + m)$量线性代数方程组的$(1+m)$元$(1+n)$量反置齐次线性代数方程组必有无数解因而有非零解，因此该线性代数方程组满足线性相关性。

推论：在$(1 + n)$元向量空间中，至多存在$(1 + n)$个线性无关的向量，且至少存在$(1 + n)$个线性无关的基向量$\bold{η}_i$，因此$(1 + n)$元向量空间也称作$(1 + n)$维向量空间。

推论：在$(1+n)$维向量空间中，任意一个向量与其$(1+n)$个基向量$\bold{η}_i$的向量组都满足线性相关性，因此任意一个向量都可以表示成其$(1 + n)$个基向量$\bold{η}_i$的线性组合。

约定：对于$(1+n)$元$(1+m)$量向量组$\bold{S}_{(1+n)×(1+m)} = \lbrace ∀i; \bold{v}_i \rbrace$，$(1+n)$指示该向量组中向量的维数是$(1+n)$维，$(1+m)$指示该向量组中向量的个数是$(1+m)$个。

推论：对于向量组$\lbrace ∀i; \bold{v}i \rbrace{(1+n)×(1+m)}$，若其任意一个向量$\bold{v}i$都是其子集向量组$\lbrace ∀j; \bold{v}_j \rbrace{(1+n)×(1+r)}$的线性组合，当且仅当此子集向量组是其极大线性无关向量组之一。

若向量组$\lbrace ∀i; \bold{u}i \rbrace{(1+n)×(1+q)}$中每一个向量都是向量组$\lbrace ∀j; \bold{v}j \rbrace{(1+n)×(1+p)}$的线性组合且反之亦然，则此两个向量组互为等价$\lbrace ∀i; \bold{u}i \rbrace{(1+n)×(1+q)} ⇆ \lbrace ∀j; \bold{v}j \rbrace{(1+n)×(1+p)}$。

注意：互为线性组合等价的向量组$\bold{Q}{(1+n)×(1+q)} ⇆ \bold{P}{(1+n)×(1+p)}$两者的个数未必相等$q \not≡ p$。向量组的线性组合等价关系具有传递性，$\bold{Q}{(1+n)×(1+q)} \mathop{⇆}\limits{\bold{Q} ⇆ \bold{P}}^{\bold{P} ⇆ \bold{O}} \bold{O}_{(1+n)×(1+o)}$。

对于向量组$\lbrace ∀k; \bold{w}k \rbrace{(1+n)×(1+q)}$，若其任意一个向量$\bold{w}k$都是向量组$\lbrace ∀j; \bold{v}_j \rbrace{(1+n)×(1+p)}$的线性组合，且$q > p$，则前者必满足线性相关性。注意：后者可满足线性无关性。

对于向量组$\lbrace ∀j; \bold{v}j \rbrace{(1+n)×(1+p)}$，从其任意一个向量开始，都能扩充成一个极大线性无关向量组，其所有极大线性无关向量组互为线性组合等价，并且向量的个数都相等。

约定：对于向量组$\lbrace ∀i; \bold{v}i \rbrace{(1+n)×(1+m)}$，其向量组的秩rank，指其任意一个极大线性无关向量组$\lbrace ∀j; \bold{v}j \rbrace{(1+n)×(1+r)}$的向量个数$(1 + r)$，记作$\mathrm{Rank}\langle \lbrace ∀j; \bold{v}j \rbrace{(1+n)×(1+r)} \rangle$。

约定：向量组指列向量组而非行向量组，向量组的秩指列秩而非行秩。因任意向量组经过初等行变换与初等列变换将形成对角形矩阵，向量组的列秩与其行秩必定相等。

推论：根据向量组线性组合的传递性，若向量组$\lbrace ∀i; \bold{u}i \rbrace{(1+n)×(1+q)}$是向量组$\lbrace ∀j; \bold{v}j \rbrace{(1+n)×(1+p)}$的线性组合，则$\mathrm{Rank}\langle \lbrace ∀i; \bold{u}i \rbrace{(1+n)×(1+q)} \rangle ≤ \mathrm{Rank}\langle \lbrace ∀j; \bold{v}j \rbrace{(1+n)×(1+p)} \rangle$。

线性空间

线性代数方程组的解集对于其增广矩阵所在的数域封闭。

线性空间对于位加运算与量乘运算封闭，齐次线性代数方程的解集是线性空间，非齐次线性代数方程的解集不是线性空间而是仿射空间。

线性空间中任意一个极大线性无关向量组构成其基向量组，线性空间中任意一个向量都是此基向量组的线性组合，线性组合的系数必唯一确定，也称作基向量组的坐标。

仅由零向量构成的线性空间称为零空间，零空间$\lbrace \bold{0} \rbrace_{(1+n)×(1)}$中极大线性无关向量组为空集$Ø$，因此空集$Ø$是零空间的基向量组，零空间的维数是$\mathrm{Rank}\langle \lbrace \bold{0} \rbrace_{(1+n)×(1)} \rangle = 0$。

约定：对于线性空间$\lbrace ∀i;𝐱ᵢ \rbrace$，其维数dimension，指其任意一个基向量组的向量个数，记作$\mathrm{Dime}\langle \lbrace ∀i;𝐱ᵢ \rbrace \rangle$。注意：线性空间的维数不等同于线性空间中向量的维数。

齐次线性代数方程组的解集$\lbrace ∀i;𝐱ᵢ \rbrace_{(1+n)}$有$(1 + n) - \mathrm{Rank}\langle A_{(1+m)×(1+n)} \rangle$个自由变元，因此该线性空间的维数满足$\mathrm{Dime}\langle \lbrace ∀i;𝐱ᵢ \rbrace \rangle = (1 + n) - \mathrm{Rank}\langle A_{(1+m)×(1+n)} \rangle$。

约定：向量集$\lbrace ∀j; \bold{x}j \rbrace{(1+n)}$的全体线性组合构成包含该向量集的最小线性空间$\mathrm{Linear}\langle \lbrace ∀j; \bold{x}j \rbrace{(1+n)} \rangle$。齐次线性代数方程组的解集$\lbrace ∀j; \bold{x}j \rbrace{(1+n)} ≡ \mathrm{L_{inear}}\langle \lbrace ∀j; \bold{x}j \rbrace{(1+n)} \rangle$。

推论：向量集$\lbrace ∀j; \bold{x}j \rbrace{(1+n)}$的极大线性无关向量组，构成包含该向量集的最小线性空间的基向量组，因此必满足$\mathrm{Rank}\langle \lbrace ∀j; \bold{x}j \rbrace{(1+n)} \rangle = \mathrm{Dime}\langle \mathrm{Linear}\langle \lbrace ∀j; \bold{x}j \rbrace{(1+n)} \rangle \rangle$。

注意：齐次线性代数方程组的解集$\lbrace ∀i;𝐱ᵢ \rbrace_{(1+n)}$的任意子集$\lbrace ∀j; \bold{x}j \rbrace{(1+n)}$未必是线性空间，其最小线性空间满足$\lbrace ∀i;𝐱ᵢ \rbrace_{(1+n)} ⊇ \mathrm{Linear}\langle \lbrace ∀j; \bold{x}j \rbrace{(1+n)} \rangle ⊇ \lbrace ∀j; \bold{x}j \rbrace{(1+n)}$。

若向量集$\lbrace ∀j; \bold{x}j \rbrace{(1+n)}$是向量集$\lbrace ∀k; \bold{v}k \rbrace{(1+n)}$的线性组合，当且仅当$\lbrace ∀j; \bold{x}j \rbrace{(1+n)} ⊆ \mathrm{Linear}\langle \lbrace ∀k; \bold{v}k \rbrace{(1+n)} \rangle$，当且仅当$\mathrm{Linear}\lbrace ∀j; \bold{x}j \rbrace{(1+n)} ⊆ \mathrm{Linear}\langle \lbrace ∀k; \bold{v}k \rbrace{(1+n)} \rangle$。

非齐次线性代数方程组存在解，当且仅当其系数矩阵的秩等同于其增广矩阵的秩$\mathrm{Rank}\langle A_{(1+m)×(1+n)} \rangle = \mathrm{Rank}\langle \tilde{A}_{(1+m)×(2+n)} \rangle$，当且仅当$\bold{y} ∈ \mathrm{Linear}\langle \lbrace \bold{a}_0, \bold{a}_1, ⋯, \bold{a}_n \rbrace \rangle$。

约定：非齐次线性代数方程组的任意一个特解，记作$\bold{ρ} = \left[\begin{matrix} ρ_n \ ⋮ \ ρ_0 \end{matrix}\right]$。非齐次线性代数方程组的任意两个特解之差，必是其对应齐次线性代数方程组的解，记作$\bold{u} = \left[\begin{matrix} u_n \ ⋮ \ u_0 \end{matrix}\right]$。

推论：非齐次线性代数方程组的通解满足$\bold{x} = \bold{ρ} + \bold{u}$。齐次线性代数方程组的解必经过原点$\bold{0}$，非齐次线性方程组的通解必不经过原点$\bold{0}$，且不满足线性空间的运算性质。

典例：求非齐次线性代数方程组的通解。

典例：$1$元$n$方多项式集$\lbrace ∀a_i∈F; f\langle x \rangle = a_0 · x^0 + a_1 · x^1 + ⋯ + a_n · x^n \rbrace$也即$\lbrace ∀f; f\langle x \rangle \rbrace$是线性空间，其基向量组是$\lbrace x^0, x^1, ⋯, x^n \rbrace_{(1)×(1+n)}$。注意：$x^n$是变化的量。

典例：复数集$ℤ ≡ \lbrace ∀z∈ℤ; z \rbrace ≡ \lbrace ∀a∈ℝ;∀b∈ℝ; τ · a + b \rbrace$，在数域$ℤ$上的基向量组是$\lbrace 1 \rbrace_{(1)×(1)}$，其维数是$1$，在数域$ℝ$上的基向量组是$\lbrace 1, τ \rbrace_{(1+1)×(1+1)}$，其维数是$2$。

线性变换

两个线性空间的同态敛射$\mathrm{Homomorphism}\langle \lbrace ∀\bold{w}; \bold{w} \rbrace_{(1+m)} ↢ \lbrace ∀\bold{v}; \bold{v} \rbrace_{(1+n)} \rangle$，向量$\bold{w}$与向量$\bold{v}$的维数未必相等$(1 + m) \not≡ (1 + n)$。同构映射的运算性质更强于同态敛射。

两个线性空间的同态敛射，将零向量$\bold{0}$敛射到零向量$\bold{0} = \mathrm{H}\langle \bold{0} \rangle$。注意：每个线性空间中的零向量都唯一确定。

两个线性空间的同构映射，将线性无关向量集$\lbrace ∀i; \bold{v}_i \rbrace$映射到线性无关向量集$\mathrm{I}\langle \lbrace ∀i; \bold{v}_i \rbrace \rangle$，将基向量组$\lbrace ∀i; \bold{e}_i \rbrace$映射到基向量组$\mathrm{I}\langle ∀i; \bold{e}_i \rangle$。注意：同态敛射并不满足双射性。

两个线性空间的同构映射，此两个线性空间的维数必相等$\mathrm{Dime}\langle \lbrace ∀\bold{v};\bold{v} \rbrace \rangle = \mathrm{Rank}\langle \lbrace ∀i; \bold{e}_i \rbrace \rangle = \mathrm{Rank}\langle \mathrm{I}\langle \lbrace ∀i; \bold{e}_i \rbrace \rangle \rangle = \mathrm{Dime}\langle \lbrace ∀\bold{w};\bold{w} \rbrace \rangle$。注意：同态敛射并不满足双射性。

两个线性空间的同构映射，由基向量组$\lbrace ∀i; \bold{e}i \rbrace{(1+n)×(1+n)}$过渡到基向量组$\lbrace ∀i; \bold{r}i \rbrace{(1+n)×(1+n)}$的坐标转换，其中基向量$\bold{r}i$对于基向量组$\lbrace ∀i; \bold{e}_i \rbrace$的映射坐标为$\bold{r}_i = \left[\begin{matrix} r{i,n} \ ⋮ \ r_{i,0} \ \end{matrix}\right]$。

典例：实数域$ℝ$上的线性空间，若向量集$\lbrace \bold{v}_0, \bold{v}_1, \bold{v}_2 \rbrace$线性无关，则向量集$\lbrace \bold{v}_0 + \bold{v}_1, \bold{v}_1 + \bold{v}_2, \bold{v}_2 + \bold{v}_0 \rbrace$线性无关。注意：线性无关向量组都可以同构映射到单位基向量组。

线性空间的运算性质

典例：两个线性代数方程组的解集的交集。

线性空间$V$与线性空间$W$的交集$V \cap W$，必定是线性空间。线性空间$U$的子集线性空间$V$与子集线性空间$W$的交集$V \cap W$，是线性空间$U$的子集线性空间。

注意：线性空间$V$与线性空间$W$的合集$V \cup W$，未必是线性空间。

约定：线性空间$V$与线性空间$W$的位加集$V + W$，是包含$V \cup W$的最小线性空间，也即$V + W ≡ \mathrm{Linear}\langle V \cup W \rangle$。

若线性空间$V$的基向量组$\lbrace ∀\bold{e}{V}; \bold{e}_V \rbrace$与线性空间$W$的基向量组$\lbrace ∀\bold{e}{W}; \bold{e}W \rbrace$满足线性无关性，当且仅当其交集的基向量组$\lbrace ∀\bold{e}{V \cap W}; \bold{e}_{V \cap W} \rbrace = Ø$，当且仅当其交集$V \cap W = \lbrace 0 \rbrace$。

线性空间$V$与线性空间$W$的位加集$V + W$，必满足$\mathrm{Dime}\langle V + W \rangle = \mathrm{Dime}\langle V \rangle + \mathrm{Dime}\langle W \rangle - \mathrm{Dime}\langle V \cap W \rangle ≤ \mathrm{Dime}\langle V \rangle + \mathrm{Dime}\langle W \rangle$，等号成立当且仅当$V \cap W = \lbrace \bold{0} \rbrace$。

推论：线性空间$U$的子集线性空间$V$与子集线性空间$W$的交集$V \cap W$，必满足$\mathrm{Dime}\langle V \cap W \rangle ≥ \mathrm{Dime}\langle V \rangle + \mathrm{Dime}\langle W \rangle - \mathrm{Dime}\langle U \rangle$，等号成立当且仅当$V + W = U$。

约定：若线性空间$U$的子集线性空间$V$与子集线性空间$W$，满足互斥性$V \cap W = \lbrace 0 \rbrace$，且满足互补性$U = V + W$，则子集线性空间$V$与子集线性空间$W$关于线性空间$U$互补。

推论：子集线性空间$V$与子集线性空间$W$关于线性空间$U$互补，当且仅当$\mathrm{Dime}\langle \lbrace ∀\bold{e}{V \cap W}; \bold{e}{V \cap W} \rbrace \rangle = 0$，并且$\mathrm{Dime}\langle \lbrace ∀\bold{e}{V \cup W}; \bold{e}{V \cup W} \rbrace \rangle = \mathrm{Dime}\langle \lbrace ∀\bold{e}_U; \bold{e}_U \rbrace \rangle$。

注意：子集线性空间$V$与子集线性空间$W$关于线性空间$U$互补，子集线性空间$W$并不唯一确定，但其基向量组满足$\lbrace ∀\bold{e}_U; \bold{e}_U \rbrace ≈ \lbrace ∀\bold{e}_V; \bold{e}_V \rbrace \cup \lbrace ∀\bold{e}_W; \bold{e}_W \rbrace$。

推论：线性空间$U$中的向量$\bold{u}$可以由子集线性空间$V$中的向量$\bold{v}$与子集线性空间$W$中的向量$\bold{w}$唯一确定，当且仅当子集线性空间$V$与子集线性空间$W$关于线性空间$U$互补。

约定：线性空间集合族$\lbrace ∀i;V_i \rbrace$的全乘积，记作$\lbrace ∀\bold{v}_i ∈ V_i; \langle \bold{v}_0, \bold{v}_1, ⋯, \bold{v}_i, ⋯ \rangle \rbrace$，全乘积是线性空间。注意：线性空间集合族$\lbrace ∀i;V_i \rbrace$未必满足互斥性$∀i;∀j; V_i \cap V_j = \lbrace \bold{0} \rbrace$。

典例：对于$3$维向量空间$ℝ_{(3)}$，其中$xOy$平面为$\lbrace ∀x ∈ ℝ; ∀y ∈ ℝ; \left[\begin{matrix} 0 \ y \ x \end{matrix}\right] \rbrace$，$Z$轴为$\lbrace ∀z ∈ ℝ; \left[\begin{matrix} z \ 0 \ 0 \end{matrix}\right] \rbrace$。向量$\left[\begin{matrix} z \ y \ x \end{matrix}\right]$可以由此两个子集向量空间中的向量唯一确定。

典例：对于$3$维向量空间$ℝ_{(3)}$，其中$xOy$平面为$\lbrace ∀x ∈ ℝ; ∀y ∈ ℝ; \left[\begin{matrix} 0 \ y \ x \end{matrix}\right] \rbrace$，$yOz$平面为$\lbrace ∀y ∈ ℝ; ∀z ∈ ℝ; \left[\begin{matrix} z \ y \ 0 \end{matrix}\right] \rbrace$。向量$\left[\begin{matrix} z \ y \ x \end{matrix}\right]$不可由此两个子集向量空间中的向量唯一确定。

基矢量的运算性质

若无特别的规定，约定基矢量指单位基矢量而非规范基矢量。示例：$3$维空间单位基矢量之一$\vec{η}_{1} ≡ \left[\begin{matrix} 0 \ 1 \ 0 \end{matrix}\right]$，$4$维空间规范基矢量之一$\vec{n} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} · \left[\begin{matrix} 1 \ 1 \ 1 \end{matrix}\right]$。

若无特别的规定，约定全基矢量指所有单位基矢量之位加运算的和。示例：$3$维空间全基矢量$\vec{η}_{+} ≡ \left[\begin{matrix} 1 \ 1 \ 1 \end{matrix}\right]$。

$n+1$元基矢量的点乘运算。 \(\begin{aligned} \vec{η}_{i} \odot_{n+1} \vec{η}_{j} &\mathop{==}\limits^{i≡j} 1 & \vec{η}_{i} &∥ \vec{η}_{i} \\ \vec{η}_{i} \odot_{n+1} \vec{η}_{j} &\mathop{==}\limits^{i<j} 0 & \vec{η}_{i} &⊥ \vec{η}_{j} \\ \vec{η}_{j} \odot_{n+1} \vec{η}_{i} &\mathop{==}\limits^{j>i} 0 & \vec{η}_{j} &⊥ \vec{η}_{i} \\ \end{aligned}\)

矩阵的运算性质

若无特别的规定，约定矩阵指行矩阵而非列矩阵，行矩阵与列矩阵互为反置。

单位$(1+n)×(1+n)$元矩阵。

标量与$(1+m)×(1+n)$元矩阵的量加运算。矩阵的量加运算必满足交换律。

$(1+m)×(1+n)$元矩阵与$(1+m)×(1+n)$元矩阵的位加运算。矩阵的位加运算必满足交换律。矩阵的位加运算必满足结合律。

标量与$(1+m)×(1+n)$元矩阵的量乘运算。矩阵的量乘运算必满足交换律。

$(1+m)×(1+n)$元矩阵与$(1+m)×(1+n)$元矩阵的点乘运算。矩阵的点乘运算必满足交换律。

$(1+m)×(1+n)$元矩阵与$(1+m)×(1+n)$元矩阵的位乘运算。矩阵的位乘运算必满足交换律。矩阵的位乘运算必满结合律。

$(l+1)*(1+m)$元矩阵与$(1+m)×(1+n)$元矩阵的合乘运算。矩阵的合乘运算不满足交换律。矩阵的合乘运算必满足结合律。

$(1+m)×(1+n)$元矩阵的度量值。矩阵的度量值值为其自身之点乘运算的方根值。

$(1+n)×(1+n)$元矩阵的行列式。

向量的运算性质

若无特别的规定，约定向量指列向量而非行向量，列向量与行向量互为反置。

标量与$n+1$元向量的量加运算。向量的量加运算必满足交换律。

$n+1$元向量与$n+1$元向量的位加运算。向量的位加运算必满足交换律。向量的位加运算必满足结合律。

标量与$n+1$元向量的量乘运算。向量的量乘运算必满足交换律。

$n+1$元向量与$n+1$元向量的点乘运算。向量的点乘运算必满足交换律。

$n+1$元向量与$n+1$元向量的位乘运算。向量的位乘运算必满足交换律。向量的位乘运算必满足结合律。

$n+1$元矢量与$n+1$元矢量的叉乘运算。矢量的叉乘运算不满足交换律。矢量的叉乘运算不满足结合律。

$3$元矢量与$3$元矢量的叉乘运算。矢量的叉乘运算不满足结合律。

$n+1$元向量的度量值。向量的度量值为其自身之点乘运算的方根值。

矢量的二重乘运算

$3$元矢量的混合叉点乘运算。

$3$元矢量的任意叉叉乘运算。矢量的任意叉叉乘运算不满足结合律。

$3$元矢量的对称叉叉乘运算。矢量的对称叉叉乘运算必满足结合律。

$3$元矢量的逆称叉叉乘运算。矢量的逆称叉叉乘运算必满足结合律。

$3$元矢量的对称点量乘运算。